Aufgabe
Überprüfen Sie die unten dargestellten Beziehungen am Beispiel der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion!
$$u(x_1, x_2) = x_1^{a_1}x_2^{a_2} \qquad a_1 + a_2 = 1$$ Bestimmen Sie dazu folgende Beziehungen:

I. Marshallsche Nachfrage aus Expansionspfad
II. Marshallsche Nachfrage aus Expansionspfad
III. Indirekte Nutzenfunktion aus Marshallscher Nachfrage
IV. Marshallsche Nachfrage aus ind. Nutzenfunktion mit Roy
V. Hicksche Nachfrage aus Expansionspfad
VI. Ausgabenfunktion aus Hickscher Nachfrage
VII. Hicksche Nachfrage aus Ausgabenfunktion mit Shephards Lemma
VIII. Marshallsche Nachfrage aus Hickscher Nachfrage und ind. Nutzenfunktion
IX. Hicksche Nachfrage aus Marshall und Ausgabenfunktion
X. Nutzen aus indirektem Nutzen und Ausgabenfunktion
XI. Einkommen aus Ausgabenfunktion und ind. Nutzenfunktion\EndeAufgabe

Aufgabe Gehen Sie vom Shepard's Lemma aus und leiten Sie aus der Kostenfunktion der
  1. linearen
  2. Leontief
  3. Cobb-Douglas
  4. CES
Produktionsfunktion jeweils die bedingte Faktornachfrage her.
Lösung
  1. lineare Funktion
    Fall 1 $$\frac{a_1}{a_2}<\frac{w_1}{w_2}$$ $$C (w_1,w_2, y) = \frac{w_2}{a_2} y^\frac{1}{r}$$ $$x_1=\frac{\partial C}{\partial w_1}=0$$ $$x_2=\frac{\partial C}{\partial w_2}=\frac{y^{1/r}}{a_2}$$ Das sind die bekannten bedingten Faktornachfragen.         $$x_2 = \frac{y^{1/r}}{a_2} \hbox{ und } x_1 = 0$$ Fall 2 $$\frac{a_1}{a_2}>\frac{w_1}{w_2}$$ $$C (w_1,w_2, y) = \frac{w_1}{a_1} y^\frac{1}{r}$$ $$x_2=\frac{\partial C}{\partial w_2}=0$$ $$x_1=\frac{\partial C}{\partial w_1}=\frac{y^{1/r}}{a_1}$$         Das sind die bekannten bedingten Faktornachfragen. $$x_1 = \frac{y^{1/r}}{a_1} \hbox{ und } x_2 = 0$$
  2. Leontief-Funktion Es gilt $$C(y,w_1,w_2) = (w_1a_1 + w_2a_2)y^\frac{1}{r}$$ $$x_1=\frac{\partial C}{\partial w_1}=a_1y^{1/r}$$ $$x_2=\frac{\partial C}{\partial w_2}=a_2y^{1/r}$$ Das sind die bekannten bedingten Faktornachfragen.        
  3. Cobb-Douglas Es gilt für die Kostenfunktion: $$C(y,w_1,w_2)= \left(\frac{w_1}{a_1}\right)^{a_1}\left(\frac{w_2}{a_2}\right)^{a_2}y^\frac{1}{r}$$ daraus folgt mit Hilfe des Shephards Lemma die bedingte Faktornachfrage $$ x_1 = \frac{\partial C}{\partial w_1} = \frac{a_1 w_1^{a_1-1} w_2^{a_2}}{a_1^{a_1} \ a_2^{a_2}} y^{1/r} = \frac{a_1}{w_1} \frac{w_1^{a_1}w_2^{a_2}}{ a_1^{a_1} \ a_2^{a_2}} y^{1/r} = \frac{a_1}{w_1} \cdot C^* \cdot y^{1/r} $$ ebenso $$x_2 = \frac{a_2}{ p_2} \cdot C^* \cdot y^{1/r}$$ Das sind die bedingten Faktornachfragen.
  4. CES Aus der Kostenfunktion folgt nach Shepard's Lemma durch Ableiten nach $w_i$ die bedingte Faktornachfrage: $$ C=\left( w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1} + w_2\left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho -1}\right)^\frac{\rho-1}{\rho} \cdot y^{1/r} $$ Bei der Bildung der folgenden inneren Ableitung beachten wir, dass der erste Summand in der Klammer umgeformt werden kann zu: $$w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1}= \frac{w_1^{\frac{1}{\rho-1}+1}}{a_1^\frac{1}{\rho-1}}$$ $$ \frac{\partial C}{\partial w_1} \!=\! \underbrace{ (\frac{1}{\rho\!-\!1}+1)\cdot\frac{w_1^{\frac{1}{\rho-1}}}{a_1^\frac{1}{\rho-1}}} _{\hbox{innere}} \cdot \underbrace{ \frac{\rho\!-\!1}{\rho}\!\cdot\!\left(\!\!w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho -1}\! +\! w_2\left(\frac{w_2}{a_2}\!\!\right)^\frac{1}{\rho-1}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}-1} }_{\hbox{äußere Ableitung}} \cdot y^{1/r} $$ Da $\frac{1}{\rho-1}+1=\frac{1+\rho-1}{\rho-1}=\frac{\rho}{\rho-1}$ kürzt sich der erste Faktor der inneren gegen den ersten Faktor der äußeren Ableitung. Da ${\frac{\rho-1}{\rho}-1}=\frac{\rho-1-\rho}{\rho}=\frac{-1}{\rho}$ vereinfacht sich der Exponent der äußeren Ableitung. Somit ergibt sich $$ \frac{\partial C}{\partial w_1} = \left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1} \left(w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho -1} + w_2\left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho-1}\right)^\frac{-1}{\rho} \cdot y^{1/r} $$ also die bedingte Faktornachfrage.