Lösung
a. Durch Einführung neuer Variabler
$$ \hat{x_1} := x_1 + a_1$$
$$ \hat{x}_2 := x_2 + a_2$$
und Einsetzen dieser Werte in die Funktion ergibt sich
$$U(\hat{x}_1,\hat{x}_2) = \hat{x}_1\hat{x}_2$$
Bezüglich $\hat{x}_1$ und $\hat{x}_2$ ist die gegebene Funktion
also eine übliche Cobb-Douglas-Funktion. Die Indifferenzkurven
entsprechen also im $\hat{x}_1$-$\hat{x}_1$-Koordinatensystem den
Indifferenzkurven der Cobb-Douglas-Funktion.
Wegen der Definition von $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ entsprechen die
Indifferenzkurven von $$U(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = (x_1 + a_1)(x_2 +
a_2)$$ im $x_1$-$x_2$-Koordinatensystem denen von $$U(x_1,x_2) =
x_1x_2,$$jeweils um $a_1$ nach links und um $a_2$ nach unten
verschoben.
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Nahe Substitute
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Wie aus Abbildung
Nahe Substitute ersichtlich, kann
die Funktion für positive $a_i$ dazu dienen, nahe Substitute zu
modellieren. Entsprechend kann mit $a_i<0$ der Fall von nahen
Komplementen dargestellt werden.(Vgl. die Aufgabe
Cobb-Douglas Verschoben
in Kapitel Optimierung.)
b. Die Lagrangefunktion ist
\begin{eqnarray*}
L(x_1, x_2, \lambda ) &= &(x_1 + a_1)(x_2 + a_2) + \lambda
(E-p_1x_1 - p_2x_2)\\
{\partial L\over \partial x_1} &= &(x_2 + a_2) - \lambda p_1
\buildrel \rm !\over = 0 \Rightarrow (x_2 + a_2) = \lambda
p_1\\
{\partial L\over \partial x_2} &= &(x_1 + a_1) - \lambda p_2
\buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow (x_1 + a_1) = \lambda p_2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
{x_2+a_2\over x_1+a_1} &= &{p_1\over p_2}\\
p_2x_2 + p_2 a_2 &= &p_1x_1 + p_1a_1\\
p_2x_2\hfill &= &p_1x_1 +p_1a_1 - p_2a_2
\end{eqnarray*}
Aus der Budgetbedingung ergibt sich
\begin{eqnarray*}
E &= &p_1x_1 + p_1x_1 + p_1a_1 - p_2a_2\\
E - p_1a_1 + p_2a_2 &= &2p_1x_1\\
x_1^M\hfill &= &\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1}
\end{eqnarray*}
Ebenso
$$x_2^M = \frac{E-p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}$$
c. Aus Teil b. ergibt sich für das Optimum
$$(x_2+a_2)=\frac{p_1}{p_2}(x_1+a_1)$$
Eingesetzt in die Nutzenfunktion $U=(x_1+a_1)(x_2+a_2)$ ergibt sich:
$$U=\frac{p_1}{p_2}(x_1+a_1)^2$$
$$(x_1+a_1)=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u}$$
$$x_1^H=\sqrt{\frac{p_2}{p_1}u} - a_1$$
ebenso
$$x_2^H=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u} - a_2$$
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Unzulässiges Optimum
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d. Die Ausgabenfunktion ergibt sich durch Einsetzen
der Hicksschen Nachfragen in die Kostengleichung $p_1x_1+p_2x_2$:
$$e(u,\vec p)= p_1x_1^H+p_2x_2^H$$
$$e(u,\vec p)
= p_1\left(\sqrt{\frac{p_2}{p_1}u} - a_1\right)+p_2\left(\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u} - a_2\right)
= \sqrt{\frac{p_1^2 p_2}{p_1}u} - p_1a_1+\sqrt{\frac{p_2^2 p_1}{p_2}u} - p_2a_2
= 2\sqrt{p_1 p_2 u} - p_1a_1 - p_2a_2
$$
e. Die indirekte Nutzenfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Hicksschen
Nachfrage in die Nutzenfunktion $U=(x_1+a_1)(x_2+a_2)$
$$U=\left(\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1}+a_1\right)\left(\frac{E-p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}+a_2\right)$$
$$U=\left(\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2+2p_1a_1}{ 2p_1}\right)\left(\frac{E-p_2a_2 + p_1a_1+2p_2a_2}{ 2p_2}\right)$$
$$U=\left(\frac{E+p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1}\right)\left(\frac{E+p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}\right)
=\frac{(E+p_1a_1 +p_2a_2)^2}{ 4p_1p_2}
$$
f.
In der Abbildung
Unzulässiges Optimum sind Indifferenzkurven und
die Budgetgerade eingezeichnet. Dabei wurden -wie vorgeschlagen- $a_1=10$ und $a_2=10$,
$E = 10$ und $p_1 = 4, \ p_2 =
1$ gewählt. Bei $x_1 = -2,5$ und $x_2 = 20$ ergibt sich ein Tangentialpunkt.
Das entspricht der rechnerischen Lösung:
$$x_1 = {E - p_1a_1 + p_2a_2\over 2p_1}= {10-4\cdot 10 + 1\cdot 10\over 2\cdot 4}=-2,5$$
$$x_2 = {E - p_2a_2 + p_1a_1\over 2p_2}= {10-1\cdot 10 +4\cdot 10 \over 2\cdot
1}=20$$
Gegeben sei die Nutzenfunktion
$$U(x_1,x_2) = (x_1 + a_1)(x_2 + a_2)$$
Bestimmen Sie zu gegebenem U die Koeffizienten $a_1$ und $a_2$ so, dass die Indifferenzkurven im Punkte $(x_1, x_2)$
die Substitutionsrate $\frac{dx_2}{dx_1}=m$ haben.
Es gilt
$$ U=(x_1+a_1)(x_2+a_2) \quad \Rightarrow\quad a_2= \frac{U}{x_1+a_1}-x_2 \qquad (*)$$
Außerdem
$$\frac{dx_2}{dx_1}=
-\frac{
\frac{\partial U}{\partial x_1 }
}{
\frac{\partial U}{\partial x_2 }
}
=-\frac{x_2+a_2}{x_1+a_1} =-m \quad \Rightarrow\quad 2_2 = m (x_1 + a_1) -x_2 \quad (**)
$$
$$
(*)(**)\quad \Rightarrow\quad \frac{U}{x_1+a_1}-x_2 = m (x_1 + a_1) -x_2
\quad \Rightarrow\quad \frac{U}{m}=(x_1+a_1)^2
$$
$$
\quad \Rightarrow\quad a_1=\sqrt{\frac{U}{m} - x_1}\qquad (+)
$$
Setzt man dieses Ergebnis in die Nutzenfunktion ein, so erhält man
$$ U=(x_1+\sqrt{\frac{U}{m}} - x_1)(x_2+a_2) \quad \Rightarrow\quad U=\sqrt{\frac{U}{m}}(x_2+a_2) $$
Daraus ergibt sich
$$a_2= \sqrt{U\cdot m}-x_2 \qquad (++)$$
(+) und (++) sind die gesuchten Koeffizienten.