Gegeben sei die Nutzenfunktion $$U(x_1,x_2) = (x_1 + a_1)(x_2 + a_2)$$ und die Budgetbedingung $$p_1x_1 + p_2x_2 = E$$
  1. Veranschaulichen Sie sich die Lösung durch Zeichnen von Indifferenzkurven. Vergleichen Sie die Indifferenzkurven mit Indifferenzkurven der Funktion $$U(x_1, x_2)= x_1x_2$$
  2. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangefunktion die Marshallsche Nachfrage.
  3. Bestimmen Sie die Hickssche Nachfrage.
  4. Bestimmen Sie die Ausgabenfunktion.
  5. Bestimmen Sie die indirekte Nutzenfunktion.
  6. Verdeutlichen Sie sich grafisch die Ergebnisse, z.B. für die Werte $a_1=10$, $a_2=10$, $E=10$, $p_1=4$, $p_2=1$.
Lösung
a. Durch Einführung neuer Variabler $$ \hat{x_1} := x_1 + a_1$$ $$ \hat{x}_2 := x_2 + a_2$$ und Einsetzen dieser Werte in die Funktion ergibt sich $$U(\hat{x}_1,\hat{x}_2) = \hat{x}_1\hat{x}_2$$ Bezüglich $\hat{x}_1$ und $\hat{x}_2$ ist die gegebene Funktion also eine übliche Cobb-Douglas-Funktion. Die Indifferenzkurven entsprechen also im $\hat{x}_1$-$\hat{x}_1$-Koordinatensystem den Indifferenzkurven der Cobb-Douglas-Funktion.
Wegen der Definition von $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ entsprechen die Indifferenzkurven von $$U(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = (x_1 + a_1)(x_2 + a_2)$$ im $x_1$-$x_2$-Koordinatensystem denen von $$U(x_1,x_2) = x_1x_2,$$jeweils um $a_1$ nach links und um $a_2$ nach unten verschoben.

Nahe Substitute
Wie aus Abbildung Nahe Substitute ersichtlich, kann die Funktion für positive $a_i$ dazu dienen, nahe Substitute zu modellieren. Entsprechend kann mit $a_i<0$ der Fall von nahen Komplementen dargestellt werden.(Vgl. die Aufgabe Cobb-Douglas Verschoben in Kapitel Optimierung.)

b. Die Lagrangefunktion ist \begin{eqnarray*} L(x_1, x_2, \lambda ) &= &(x_1 + a_1)(x_2 + a_2) + \lambda (E-p_1x_1 - p_2x_2)\\ {\partial L\over \partial x_1} &= &(x_2 + a_2) - \lambda p_1 \buildrel \rm !\over = 0 \Rightarrow (x_2 + a_2) = \lambda p_1\\ {\partial L\over \partial x_2} &= &(x_1 + a_1) - \lambda p_2 \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow (x_1 + a_1) = \lambda p_2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} {x_2+a_2\over x_1+a_1} &= &{p_1\over p_2}\\ p_2x_2 + p_2 a_2 &= &p_1x_1 + p_1a_1\\ p_2x_2\hfill &= &p_1x_1 +p_1a_1 - p_2a_2 \end{eqnarray*} Aus der Budgetbedingung ergibt sich \begin{eqnarray*} E &= &p_1x_1 + p_1x_1 + p_1a_1 - p_2a_2\\ E - p_1a_1 + p_2a_2 &= &2p_1x_1\\ x_1^M\hfill &= &\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1} \end{eqnarray*} Ebenso $$x_2^M = \frac{E-p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}$$
c. Aus Teil b. ergibt sich für das Optimum $$(x_2+a_2)=\frac{p_1}{p_2}(x_1+a_1)$$ Eingesetzt in die Nutzenfunktion $U=(x_1+a_1)(x_2+a_2)$ ergibt sich: $$U=\frac{p_1}{p_2}(x_1+a_1)^2$$ $$(x_1+a_1)=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u}$$ $$x_1^H=\sqrt{\frac{p_2}{p_1}u} - a_1$$ ebenso $$x_2^H=\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u} - a_2$$   Unzulässiges Optimum
d. Die Ausgabenfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Hicksschen Nachfragen in die Kostengleichung $p_1x_1+p_2x_2$: $$e(u,\vec p)= p_1x_1^H+p_2x_2^H$$ $$e(u,\vec p) = p_1\left(\sqrt{\frac{p_2}{p_1}u} - a_1\right)+p_2\left(\sqrt{\frac{p_1}{p_2}u} - a_2\right) = \sqrt{\frac{p_1^2 p_2}{p_1}u} - p_1a_1+\sqrt{\frac{p_2^2 p_1}{p_2}u} - p_2a_2 = 2\sqrt{p_1 p_2 u} - p_1a_1 - p_2a_2 $$ e. Die indirekte Nutzenfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Hicksschen Nachfrage in die Nutzenfunktion $U=(x_1+a_1)(x_2+a_2)$ $$U=\left(\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1}+a_1\right)\left(\frac{E-p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}+a_2\right)$$ $$U=\left(\frac{E-p_1a_1 +p_2a_2+2p_1a_1}{ 2p_1}\right)\left(\frac{E-p_2a_2 + p_1a_1+2p_2a_2}{ 2p_2}\right)$$ $$U=\left(\frac{E+p_1a_1 +p_2a_2}{ 2p_1}\right)\left(\frac{E+p_2a_2 + p_1a_1}{ 2p_2}\right) =\frac{(E+p_1a_1 +p_2a_2)^2}{ 4p_1p_2} $$ f. In der Abbildung Unzulässiges Optimum sind Indifferenzkurven und die Budgetgerade eingezeichnet. Dabei wurden -wie vorgeschlagen- $a_1=10$ und $a_2=10$, $E = 10$ und $p_1 = 4, \ p_2 = 1$ gewählt. Bei $x_1 = -2,5$ und $x_2 = 20$ ergibt sich ein Tangentialpunkt.
Das entspricht der rechnerischen Lösung: $$x_1 = {E - p_1a_1 + p_2a_2\over 2p_1}= {10-4\cdot 10 + 1\cdot 10\over 2\cdot 4}=-2,5$$ $$x_2 = {E - p_2a_2 + p_1a_1\over 2p_2}= {10-1\cdot 10 +4\cdot 10 \over 2\cdot 1}=20$$

Gegeben sei die Nutzenfunktion $$U(x_1,x_2) = (x_1 + a_1)(x_2 + a_2)$$ Bestimmen Sie zu gegebenem U die Koeffizienten $a_1$ und $a_2$ so, dass die Indifferenzkurven im Punkte $(x_1, x_2)$ die Substitutionsrate $\frac{dx_2}{dx_1}=m$ haben.
Diese Problem ist eher darstellungs-technischer als ökonomischer Natur. Die Lösung ermöglicht es, recht schnell zu unterschiedlichen Butget-Geraden tangierende Indifferenzkurven zu zeichnen.
Es gilt $$ U=(x_1+a_1)(x_2+a_2) \quad \Rightarrow\quad a_2= \frac{U}{x_1+a_1}-x_2 \qquad (*)$$ Außerdem $$\frac{dx_2}{dx_1}= -\frac{ \frac{\partial U}{\partial x_1 } }{ \frac{\partial U}{\partial x_2 } } =-\frac{x_2+a_2}{x_1+a_1} =-m \quad \Rightarrow\quad 2_2 = m (x_1 + a_1) -x_2 \quad (**) $$ $$ (*)(**)\quad \Rightarrow\quad \frac{U}{x_1+a_1}-x_2 = m (x_1 + a_1) -x_2 \quad \Rightarrow\quad \frac{U}{m}=(x_1+a_1)^2 $$ $$ \quad \Rightarrow\quad a_1=\sqrt{\frac{U}{m} - x_1}\qquad (+) $$ Setzt man dieses Ergebnis in die Nutzenfunktion ein, so erhält man $$ U=(x_1+\sqrt{\frac{U}{m}} - x_1)(x_2+a_2) \quad \Rightarrow\quad U=\sqrt{\frac{U}{m}}(x_2+a_2) $$ Daraus ergibt sich $$a_2= \sqrt{U\cdot m}-x_2 \qquad (++)$$ (+) und (++) sind die gesuchten Koeffizienten.