Ökonomen machen gern Exkurse in andere Disziplinen, um ihre Vorgehensweise zu begründen oder zu verteidigen. Solche Exkurse sind nützlich. Zum einen müssen bekannte Methoden nicht mühsam neu entwickelt werden, zum anderen sind bestimmte Strukturen häufig besser im anderen Zusammenhang zu verdeutlichen. Solche Exkurse sind aber auch problematisch, wesentliche Unterschiede zwischen den einzelnen Disziplinen können leicht übersehen werden. Auch wir machen jetzt zur Verdeutlichung von nominalen, ordinalen und \textbf {kardinalen} Skalierungen einen Exkurs in die Physik: wir beschäftigen uns mit der Beschreibung des Wetters und der Temperatur.

Die Beschreibung des Wetters erfolgt meistens durch bestimmte Ausdrücke: ungemütlich, schön, warm, tropisch, wechselhaft etc. Der Wissenschaftler spricht von einer \textbf {nominalen Skalierung}. Eine solche Skalierung ist in der Wissenschaft wenig aussagekräftig.

Konzentriert man sich nur auf die Temperatur, so kann man bestimmte Zustände danach vergleichen, welcher wärmer ist und kommt zu einer \textbf {ordinalen Skalierung} z.B. sehr kalt, kalt, mäßig kalt, lau warm, mäßig warm, warm, sehr warm. Hier werden in aufsteigender Reihenfolge verschiedene Zustände der Wärme geordnet. Eine ordinale Skala kann auch mit Zahlen indiziert werden, sie bleibt trotzdem eine ordinale Skala solange die Zahlen nur die Ordnung widerspiegeln.

Ordinale Skalen, eventuell mit Nummern versehen, sind für wissenschaftliche Analysen durchaus brauchbar. Häufig wünscht man sich aber zahlenmäßige Skalierungen, in denen die Zahlenwerte eine direkte, messbare Beziehung zu den zu skalierenden Objekten haben. Eine solche Skalierung nennt man \textbf {kardinal}.
DefinitionKardinale Skalierung

Sind $U_i(x), \tilde{U}_i(x)$ die Nutzenindizes von Konsument $i$ abhängig von Alternative $x$, so sagt man, dass $U_i$ und $\tilde{U}_i$ lineare (affine) Transformationen sind, wenn gilt $$\alpha_iU_i(x) + \beta_i = \tilde{\alpha}_i \tilde{U}_i(x) + \tilde{\beta}_i$$ $$U_i(x) = {\tilde{\alpha}_i \over \alpha_i} \tilde{U}_i(x) + {\tilde{\beta}_i - \beta_i \over \alpha_i} $$ Ist $\alpha_i = \tilde{\alpha}_i$ so spricht man von Einheiten- Vergleichbarkeit

Ist $\beta_i = \tilde{\beta}_i$ so spricht man von Nullpunkt- Vergleichbarkeit

Kardinale Skalierung

Definition monoton

Eine Transformation $\tilde{U} = f(U)$, die die folgende Bedingung (*) erfüllt, heißt ordnungserhaltende oder monotone (zunehmende) Transformation. $$ U(x) \le U(y) \Leftrightarrow f(U(x)) \le f(U(y)) \quad(*) $$ Zwei Skalierungen $U(x), \tilde{U}(x)$ heißen äquivalente ordinale Skalierungen, wenn eine Skalierung aus der anderen durch eine monoton zunehmende Transformation hervorgeht. $$U(\vec x) \le U(\vec y) \Leftrightarrow \tilde{U}(\vec x)\le \tilde{U}(\vec y)$$

Monotone Transformation