DefinitionKardinale Skalierung
Sind $U_i(x),
\tilde{U}_i(x)$ die Nutzenindizes von Konsument $i$ abhängig von
Alternative $x$, so sagt man, dass $U_i$ und $\tilde{U}_i$ lineare
(affine) Transformationen sind, wenn gilt
$$\alpha_iU_i(x) + \beta_i = \tilde{\alpha}_i \tilde{U}_i(x) +
\tilde{\beta}_i$$
$$U_i(x) = {\tilde{\alpha}_i \over \alpha_i} \tilde{U}_i(x) +
{\tilde{\beta}_i - \beta_i \over \alpha_i} $$
Ist $\alpha_i = \tilde{\alpha}_i$ so spricht man von Einheiten-
Vergleichbarkeit
Ist $\beta_i = \tilde{\beta}_i$ so spricht man von Nullpunkt-
Vergleichbarkeit
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Kardinale Skalierung |
Definition monoton
Eine Transformation $\tilde{U} = f(U)$, die die folgende Bedingung
(*) erfüllt, heißt ordnungserhaltende oder monotone (zunehmende)
Transformation.
$$
U(x) \le U(y)
\Leftrightarrow
f(U(x)) \le f(U(y))
\quad(*)
$$
Zwei Skalierungen $U(x), \tilde{U}(x)$ heißen äquivalente
ordinale Skalierungen, wenn eine Skalierung aus der anderen durch
eine monoton zunehmende Transformation hervorgeht.
$$U(\vec x) \le U(\vec y) \Leftrightarrow \tilde{U}(\vec x)\le \tilde{U}(\vec y)$$
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Monotone Transformation |