Satz (Existenz einer Nutzenfunktion) Sind die Präferenzen vollständig reflexiv transitiv, stetig, so existiert eine stetige Nutzenfunktion: $U: \longrightarrow R$, so dass $$u(\vec{x}) > u(\vec{y}) \Longleftrightarrow \vec{x} \succ \vec{y}$$
Beweis

Beweisgang wenn zusätzlich Monotonie vorausgesetzt wird.

Der Güterkombination ${\rm\bf 1} = (1, 1, \dots , 1)$ geben wir den Nutzen $1$ $${\rm\bf 2} = (2, \dots , 2) \longrightarrow 2$$ $${\rm\bf k} = (k, \dots , k) = k(1, \dots , 1) \longrightarrow k$$

Allen Vektoren $\vec{x}$ mit $\vec{x}$ gleich $k (1, \dots , 1)$ geben wir den Nutzen $k$. Die Funktion ist stetig und repräsentiert wegen der Monotonie die Präferenzordnung. Eine solche Nutzenfunktion ist nicht eindeutig; wir hätten auch $(k, \dots, k)$ den Wert $2 \cdot k$ oder $k^2$ oder $\sqrt{k}$ zuordnen können.