Aufgabe
Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution $\frac{dx_2}{dx_1}$ für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion $$U(x_1,x_2)= \left(x_1^{a_1}x_2^{a_2}\right) \hbox{ mit } a_1+a_2=1 $$ und beantworten Sie

allgemein gilt $\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{\partial U / \partial x_1}{\partial U / \partial x_2}$

bei der geg. Nutzenfunktion gilt $\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{a_1x_2}{a_2 x_1}$

je höher $a_1$ im Vergleich zu $a_2$ ist, um so steiler ist das Gefälle der Indifferenzkurven.

bei der geg. Nutzenfunktion gilt auf der 45-Grad-Linie: $\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{a_1}{a_2 }$

Aufgabe
Beantworten Sie:

Bei $\sigma = -1$ entsprechen die Indifferenzkurven der CES-Funktion denen der Cobb-Douglas-Funktion.

Bei $\sigma = 0$ entsprechen die Indifferenzkurven der CES-Funktion denen einer Funktion mit vollständigen Komplementen.

Bei $\sigma = -\infty$ entsprechen die Indifferenzkurven der CES-Funktion denen einer Funktion mit vollständigen Substituten.

Bei $\sigma$ nahe bei $-\infty$ entsprechen die Indifferenzkurven der CES-Funktion denen einer Funktion mit nahen Substituten.

Bei $\sigma $ nahe bei 0 entsprechen die Indifferenzkurven der CES-Funktion denen einer Funktion mit nahen Komplementen.