Der Einkommenskonsumpfad

Auf einem beliebigen Fahrstrahl durch den Ursprung ist die Substitutionsrate konstant. Auf der 45$^{\circ}$-Achse ist die Substitutionsrate $= - {a_1 \over a_2}$.
Ist $a_1 = a_2$, so ist die Substitutionsrate auf der 45$^{\circ}$-Achse = $- 1$.
Der Einkommenskonsumpfad ergibt sich für gegebene Preise $\vec w=p_1,p_2$ aus der Optimierungsbedingung: \begin{equation} {dx_2 \over dx_1} = -{\partial U /\partial x_1 \over \partial U /\partial x_2} = {a_1x_2\over a_2x_1}= {p_1\over p_2} \end{equation} Daraus ergibt sich: \begin{equation} x_2={a_2p_1\over a_1p_2} x_1\end{equation} Die Einkommenskonsumpfade sind (wie bei jeder homothetischen Funktion) Geraden.

Einkommenskonsumpfad
Die Hicksche Nachfragefunktion

Der Schnittpunkt von Expansionpfad und Isoquante liefert die bedinget Faktornachfrage, also setzen wir die Expansionspfad in die Nutzenfunktion ein, so ergibt sich: \begin{equation} u=x_1^{a_1}\cdot \left({a_2p_1\over a_1p_2}x_1\right)^{a_2} =x_1^{(a_1+a_2)}\cdot \left({a_2p_1\over a_1p_2}\right)^{a_2} \end{equation} \begin{equation} x_1= \left({a_1p_2\over a_2p_1}\right)^{a_2}\cdot u \end{equation} ebenso: \begin{equation} x_2= \left({a_2p_1\over a_1p_2}\right)^{a_1}\cdot u \end{equation} Die Hicksche Nachfragefunktion gibt die Nachfrage nach den Gütern bei minimalen Ausgaben an.

Die Ausgabenfunktion der Cobb-Douglas-Funktion

Die Ausgabenfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Hicksche Nachfragefunktion in die Budgetbedingung: \begin{equation} C=p_1\cdot x_1 + p_2\cdot x_2 \end{equation} \begin{equation} C(y, p_1,p_2)= {p_1\cdot ({a_1p_2\over a_2p_1})^{a_2} + p_2\cdot ({a_2p_1\over a_1p_2})^{a_1}} \cdot u\end{equation} Damit ergibt sich \begin{equation} C(y, p_1,p_2)= C^* \cdot u\end{equation} für die Ausgabenfunktion.