Es gilt die binomische Formel:
\begin{equation}
(a+b)^n =
{n\choose 0}a^n
+{n\choose 1}a^{n-1}b^1
+{n\choose 2}a^{n-2}b^2
+ \dots
+{n\choose n-1}a^1 b^{n-1}
+{n\choose n}b^n
\end{equation}
Diese binomische Formel wird übersichtlicher, wenn das
Pascalsche Dreieck benutzt wird.
Beispielsweise ergibt sich unter Benutzung der siebten Zeile des Dreiecks
\begin{equation*}
(a+b)^7 =
1a^7
+7a^6b^1
+21a^5b^2
+35a^4b^3
+35a^3b^4
+21a^2b^5
+7a^1b^6
+1b^7.
\end{equation*}
Aus dem Pascalschen Dreieck ergeben sich die folgenden Eigenschaften
der Binomialkoeffizienten. Dazu treffen wir folgende Vereinbarungen
bezüglich der Zeilen und Spalten des Dreiecks:
- Die Zeilen werden von 0 bis n gezählt. In der zweiten Zeile
stehen z.B. die Koeffizienten ${2\choose 0}=1$,
${2\choose 1}=2$ und ${2\choose 2}=1$
- Die Spalten laufen von rechts oben nach links unten und werden
auch mit 0 beginnend gezählt.
In jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks ist der erste und der
letzte Koeffizient jeweils gleich Eins.
${n\choose 0}={n\choose n}=1$
Aus zwei benachbarten Koeffizienten in einer beliebigen Reihe n
ergibt sich der mittig unter ihnen stehende Koeffizient der Reihe n+1.
${n\choose k} + {n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$
Beispielsweise ist, wie man in der Komponente der letzten Seite
sofort feststellt, ${4\choose 1}+{4\choose 2}={5\choose 2}$,
beziehungsweise $4+6=10$.
Man beachte, dass mit diesen beiden Beziehungen sukzessive alle Einträge des
Pascalschen Dreiecks bestimmt werden können.
Die Koeffizienten einer (beliebigen) Reihe n summieren sich zu $2^n$:
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n{n\choose i}=2^n.
\end{equation}