Es gilt die binomische Formel: \begin{equation} (a+b)^n = {n\choose 0}a^n +{n\choose 1}a^{n-1}b^1 +{n\choose 2}a^{n-2}b^2 + \dots +{n\choose n-1}a^1 b^{n-1} +{n\choose n}b^n \end{equation} Diese binomische Formel wird übersichtlicher, wenn das Pascalsche Dreieck benutzt wird. Beispielsweise ergibt sich unter Benutzung der siebten Zeile des Dreiecks \begin{equation*} (a+b)^7 = 1a^7 +7a^6b^1 +21a^5b^2 +35a^4b^3 +35a^3b^4 +21a^2b^5 +7a^1b^6 +1b^7. \end{equation*} Aus dem Pascalschen Dreieck ergeben sich die folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten. Dazu treffen wir folgende Vereinbarungen bezüglich der Zeilen und Spalten des Dreiecks: In jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks ist der erste und der letzte Koeffizient jeweils gleich Eins.
${n\choose 0}={n\choose n}=1$
Aus zwei benachbarten Koeffizienten in einer beliebigen Reihe n ergibt sich der mittig unter ihnen stehende Koeffizient der Reihe n+1.
${n\choose k} + {n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$
Beispielsweise ist, wie man in der Komponente der letzten Seite sofort feststellt, ${4\choose 1}+{4\choose 2}={5\choose 2}$, beziehungsweise $4+6=10$. Man beachte, dass mit diesen beiden Beziehungen sukzessive alle Einträge des Pascalschen Dreiecks bestimmt werden können.
Die Koeffizienten einer (beliebigen) Reihe n summieren sich zu $2^n$: \begin{equation} \sum_{i=0}^n{n\choose i}=2^n. \end{equation}