- Multiplikation
\begin{equation}
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}.
\end{equation}
Zulässig wäre auch die Schreibweise:
\begin{equation*}
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} \cdot
b^{\frac{1}{2}} = (a \cdot
b)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a \cdot b}.
\end{equation*}
- Division
\begin{equation}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
\end{equation}
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
=\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}
= \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{2}}
=\sqrt{\frac{a}{b}}.
\end{equation*}
- Wurzeln höheren Grades
Bis jetzt wurden nur Gleichung mit einem einfachen
Quadrat ($x^{2}$) aufgelöst. Im Weiteren sollen die Ergebnisse
dieser Rechnungen auf Exponenten höheren Grades übertragen werden,
so z.B.:
\begin{eqnarray*}
a^{n}-b & = &0\\
a& = & \sqrt[n]{b}.
\end{eqnarray*}
Für rationale Zahlen, also Zahlen der Form $\frac{m}{n}$ wird definiert:
\begin{equation*}
a^\frac {m}{n}=\sqrt[n]{a^{m}}.
\end{equation*}
Dies ist erst einmal eine willkürliche Definition, die ihren Sinn aber dadurch
gewinnt, dass die Potenzregeln für solche gebrochenen Exponenten weiter gelten.
Folgende Regeln gewährleisten die richtige Anwendung von
Wurzeln höheren Grades:
\begin{equation}
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a}= \sqrt[nm]{a^{m+n}}.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac {\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a^{m-n}}.
\end{equation}
Hinweis: Bei einer Wurzel aus einer negativen Zahl in der
Form $\sqrt [n]{-a}$ mit $a \in \mathbb{R}^{+}_{0}$,
muss eine Fallunterscheidung für die möglichen Werte von n gemacht
werden:
\begin{eqnarray*}
{\sqrt[n]{-a}} \!=\!
\begin{cases}
\begin{array}{cl} \sqrt[n]{-a}~~\mbox{ nicht lösbar in } \mathbb{R},
& \mbox {wenn } n=\{\ldots,-2,0,2,4,6,\ldots\}\\
\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}~~\mbox{, also lösbar} , & \mbox {wenn }
n=\{\ldots,-3,-1,1,3,\ldots\}.
\end{array}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
Verbal: Für ungerade n kann die n-te Wurzel aus negativen Zahlen
definiert sein. Hingegen kann für gerade n keine Lösung gefunden
werden, da eine gerade Potenz einer Zahl nie negativ sein kann.