vgl.
tietze:2008
und
holland:2008
Eine Summe mit beliebig vielen oder unendlich vielen Summanden
lässt sich mit Hilfe des Summationsoperators $\sum$ verkürzt
darstellen:
\begin{equation*}
a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
\end{equation*}
Der laufende Summationsindex i erhöht sich bei jedem
Summationsglied um eine Einheit, beginnend mit der
Summationsuntergrenze ( meist die Zahl 0 oder 1 ) und endend mit
der Summationsobergrenze n. Die Summationsgrenzen und der
Summationsindex sind dabei beliebig wählbar. Für das Rechnen mit
dem Summenoperanden sind folgende Regeln festgelegt:
- Für die Summen gilt genau wie für jede andere Addition das
Assoziativgesetz:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} (a_{i}\pm b_{i})=\sum_{i=1}^{n}
a_{i}\pm \sum_{i=1}^{n} b_{i}.
\end{equation*}
- Hat jedes Glied des Summanden einen konstanten Faktor k,
so kann dieser Faktor aus der Summe ausgeklammert werden. Es gilt
das Distributivgesetz:
\begin{equation*}
k \cdot a_{1}+k \cdot a_{2}+k\cdot a_{3}+\ldots+k
\cdot a_{n}= \sum_{i=1}^{n} k \cdot a_{i}= k \cdot
\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
\end{equation*}
- Besteht die Summe aus n Summanden, die allesamt identisch sind,
dann kann diese Summe verkürzt dargestellt werden:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n} a = n \cdot a.
\end{equation*}
- Einzelne Summanden können aus der Summe hervorgehoben
werden, in dem sie von der Summe abgetrennt werden.
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}a_{i} = a_{m}+ \sum_{\stackrel{i=1}{i\neq
m}}^{n}a_{i}.
\end{equation*}
- Außerdem lässt sich eine Summe, in $n$ Teile aufgliedern.
Die dadurch entstandenen Teile müssen nicht dieselbe Anzahl an
Summanden beinhalten.
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}a_{i}
=\sum_{i=1}^{m}a_{i}+\sum_{i=m+1}^{n}a_{i}
\qquad\mbox{ mit }m < n.
\end{equation*}
- Während des Wirtschaftsstudiums sind ein- oder
mehrdimensionale Tabellen oft Teil der Lehrinhalte. Aus diesen
lassen sich Summen ableiten, bei denen über zwei oder mehrere
Indizes summiert wird. Dies lässt sich durch Doppel- bzw.
Mehrfachsummen ausdrücken. Hier soll im Weiteren nur die
Doppelsumme besprochen werden, allerdings ist eine Übertragung der
Aussagen zu den Doppelsummen auf die Mehrfachsummen mühelos
machbar. Unter einer Doppelsumme versteht man:
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}: &
= &\sum_{i=1}^{m}(a_{i1}+a_{i2}+\ldots+a_{in}) \\ &
= & \ \ \ a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{1n}
\\ & & +\ a_{21}+a_{22}+\ldots+a_{2n}
\\ & & +\ldots\\ & & +\ a_{m1}+a_{m2}+\ldots+a_{mn}.
\end{eqnarray*}
Beachtet man, dass man im letzten Teil der vor stehenden Formel
genau so gut über die Spalten wie über die Zeilen summieren kann,
dann ergibt sich sofort:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}= \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} a_{ij}.
\end{equation*}