Beweis
Im Folgenden wird das Produkt aus zwei Faktoren betrachtet. Für mehr als zwei
Faktoren können die Überlegungen leicht mit Hilfe des Assoziativgesetzes und
eventuell des Kommutativgesetzes verallgemeinert werden. Wegen des Wortes
'genau' müssen beide Richtungen gezeigt werden:
- Aus dem Distributivgesetz folgt unmittelbar:
\begin{eqnarray*}
(a + (-a)) \cdot b &=& a \cdot c + (-a) \cdot c \\
0 \cdot b &=& 0 \qquad \forall c \in \mathbb{R}.
\end{eqnarray*}
Somit wurde gezeigt, dass $0\cdot b=0$. Entsprechend kann auch $a\cdot 0=0$ gezeigt werden.
- Sei andererseits in $a\cdot b=0$ und der Faktor $b\ne 0$ dann ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
&a\cdot b=0\\
\Rightarrow &a\cdot b\cdot\frac{1}{b}=0\cdot\frac{1}{b}\\
\Rightarrow &a=0.
\end{eqnarray*}