Besteht innerhalb einer Rechnung eine Addition gleicher Summanden,
so kann diese zu einer Multiplikation gleicher Faktoren verkürzt
werden. So entsteht z.B. aus der Addition $5+5+5+5+5+5$ die
Multiplikation $6\cdot5$ (allgemein: $x+x+x+x+x+\ldots+x= n\cdot
x$). Wird dementsprechend eine Zahl oder eine Variable mehrfach
mit sich selbst multipliziert, kann diese Multiplikation durch die
Einführung einer Potenz vereinfacht werden:
\begin{equation*}
5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}.
\end{equation*}
Allgemein für $n$ gleiche Faktoren:
\begin{equation*}
x^{n}=x\cdot x\cdot x\cdot \ldots \cdot x.
\end{equation*}
Verbal: Wird die Zahl $x$ n-fach mit sich selbst multipliziert, so
entspricht dies der $n-ten$ Potenz dieser Zahl. Der identische,
sich wiederholende Multiplikator $x$ heißt Basis, die Zahl der
Wiederholungen der Multiplikation (hier: $n$) heißt Exponent
bezeichnet wird. Der Rechenausdruck aus Basis und Exponent heißt Potenz .\\
- Addition und Subtraktion
\begin{equation}
a x^{n} \pm b x^{n} = (a \pm b) x^{n}.
\end{equation}
Wesentlich ist, dass sowohl Basis als auch Exponent
übereinstimmen. Andernfalls, zum Beispiel bei nur gleicher Basis
oder bei nur gleichen Exponenten, kann eine Addition oder
Subtraktion nur durchgeführt werden, wenn es sich um konkrete
Zahlen handelt.
- Multiplikation
- Multiplikation bei gleicher Basis:
\begin{equation*}
a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m}.
\end{equation*}
- Multiplikation bei gleichen Exponenten:
\begin{equation*}
a^{n} \cdot b^{n} = (a\cdot b)^{n}.
\end{equation*}
- Potenzieren von Potenzen:
\begin{equation*}
(a^{n})^{m} = (a)^{n\cdot m}.
\end{equation*}
Die Multiplikation von identischen Zahlen kann durch die
Darstellung als Potenz vereinfacht werden.
Division
- Division bei gleicher Basis:
\begin{equation*}
\frac {x^{a}}{x^{b}}=x^{a - b}.
\end{equation*}
- Division bei gleichen Exponenten:
\begin{equation*}
\frac {a^{n}}{b^{n}}=\left(
\frac{a}{b}\right)^{n}.
\end{equation*}
Weitere Regeln für das Rechnen mit Potenzen
\begin{equation*}
a^{-n}=\frac {1}{a^{n}}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
a^{0}=1.
\end{equation*}
Potenzen mit gebrochenen Exponenten - also in der Form
$a^{\frac{2}{3}}$ - werden in Abschnitt Gebrochene Exponenten behandelt.