Als nächstes betrachten wir Potenzen mit Brüchen als Exponenten, also Potenzen der Form $a^{\frac{1}{2}}$ ader $a^{\frac{1}{b}}$. Aus den Ausführungen in Abschnitt Potenzen ergibt sich nicht, welchen Wert solche Potenzen besitzen. Damit gelten natürlich auch nicht automatisch die dort aufgestellten Regeln. Um die Werte von gebrochenen Exponenten zu bestimmen, gehen wir versuchsweise davon aus, dass die in Abschnitt Potenzen hergeleiteten Potenzregeln nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche gelten.

Dann ergibt sich: \begin{equation} a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=a. \end{equation} $a^{\frac{1}{2}}$ ist also die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl $a$ ergibt, $a^{\frac{1}{2}}$ kann also angesehen werden als die Wurzel aus $a$.

Ganz entsprechend ergibt sich: \begin{equation} \underbrace{a^{\frac{1}{b}}\cdot a^{\frac{1}{b}}\dots \cdot a^{\frac{1}{b}}}_{\mbox{b mal}} =a^{\frac{1}{b}+ \dots +\frac{1}{b}}=a \end{equation} und allgemein \begin{equation} \underbrace{a^{\frac{c}{b}}\cdot a^{\frac{c}{b}}\dots \cdot a^{\frac{c}{b}}}_{\mbox{b mal}} =a^{\frac{c}{b}+ \dots +\frac{c}{b}}=a^c. \end{equation} Somit wird definiert: \begin{equation} a^{\frac{c}{b}}=\sqrt[b]{a^c}. \end{equation}
Hinweis
Treten in einer Rechnung Wurzeln und Potenzen zu einer Basis auf, so ist es generell empfehlenswert, mit gebrochenen Exponenten zu arbeiten, da die Anwendung der Potenzgesetze häufig zu Vereinfachungen führt. $$\sqrt[3]{3^5}\cdot\sqrt[6]{3^2}= 3^\frac{5}{3}\cdot3^\frac{2}{6}=3^\frac{6}{3}=3^2=9.$$