Nebenstehend sind die obersten Reihen eines Galtonbrettes gezeigt. Ein Ball, der in Reihe 0 startet erreicht mit der Wahrscheinlichkeit p den linken Nagel und mit q den rechten Nagel der ersten Reihe. Den ersten Nagel von Reihe 2 kann er nur vom ersten Nagel der Reihe erreichen und zwar von dort mit der Wahrscheinlichkeit p. Da der Nagel in Reihe 1 aber auch eine Treff-Wahrscheinlichkeit von p hat, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von $p^2$.

Entsprechend ergibt sich für den dritten Nagel eine Treff-Wahrscheinlichkeit von $q^2$. Der mittlere Nagel in Reihe 2 kann hingegen vom linken oberen Nagel mit der Wahrscheinlichkeit q und vom rechten oberen mit Wahrscheinlichkeit p erreicht werden.
Pascal-Dreieck mit Wahrscheinlichkeiten

Berücksichtigt man die Treffwahwscheinlichkeiten der oberen Nägel, so ergibt sich eine Treffwahrscheinlichkeit von $pq+qp=2pq$ für den mittleren Nagel in Reihe 2. Entsprechend kann für alle Nägel in allen Reihen fortgefahren werden. Beispielsweise ergibt sich der zweite Nagel in Reihe 3 aus den Werten $1p^2$ mit Wahrscheinlichkeit $q$ und $2pq$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ und somit als $1p^2q+2pqp=3p^2q$. Somit gilt in der Reihe n für die Nägel k von 0 bis n die Treffwahrscheinlichkeit: $${n \choose 0}p^nq^0,\qquad {n \choose 1}p^{n-1}q^{1},\qquad {n \choose 2}p^{n-2}q^{2},\qquad \dots \qquad {n \choose n}p^{0}q^{n}.$$ Mit diesen Werten haben wir die sogenannte Binomialverteilung bestimmt. Sie beschreibt die Anzahl des Auftreten eines Merkmals in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit p und q=1-p haben.
Beispiel
Der Binomialkoeffizient ${n\choose k}$ gibt an, wie viele k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Menge gebildet werden können.
Mit dem Binomialkoeffizienten kann also bestimmt werden, wie viele verschiedenartige 6-elementige Teilmengen aus der 49-elementigen Gesamtmenge im Lottospiel \emph{6 aus 49} erstellt werden können. \begin{eqnarray*} {49\choose 6}=\frac{49!} {(49-6)!6!} = \frac{6,08281864\cdot 10^{62}}{(6,041526306\cdot 10^{52}) \cdot 720}= \frac{6,08281864\cdot 10^{62}}{4,349898941\cdot 10^{55}}= 13.983.816 \end{eqnarray*}