In nebenstehender Abbildung sind die oberen vier Reihen eines Pascal-Dreiecks abgebildet, also Reihe 0 bis Reihe 3 nach der Zählvereinbarung. Wir betrachten jetzt mögliche Wege vom obersten Punkt zu allen anderen Punkten beim Fall einer Kugel.
In Reihe 1 ist jeder Punkt nur durch einen Pfad von oben zu erreichen, nämlich jeweils auf dem Pfad, der durch den Pfeil dargestellt wird.
Auch in Reihe 2 sind die äußeren Punkte nur jeweils auf einem Weg von ganz oben zu erreichen. Zum mittleren führen aber zwei Wege, nämlich einer von links oberhalb, der andere von rechts oberhalb.
In Reihe 3 sind die äußeren Punkte jeweils auf einem Weg, die beiden mittleren aber auf drei Wegen zu erreichen, da einer der darüber liegenden Punkte auf einem und der andere auf zwei Wegen zu erreichen ist.

Oberste Reihen des Pascal-Dreiecks
Würden also acht Bälle laufen, so würde man erwarten, dass einer nach links, jeweils drei in die beiden mittleren Positionen und einer nach rechts fallen würde. Diese Zahlen geteilt durch die Anzahl der 8 Bälle ergeben damit den Erwartungswert, dass ein einziger Ball den entsprechenden Nagel erreicht.
Bei dem Experiment auf der letzten Seite ist also zu erwarten, dass in der neunten Reihe von $2^9=512$ Bällen der Reihe nach 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 in die Gefäße fallen. Das sind gerade die Binomialkoeffizienten $9 \choose k$ mit $k=0, \dots 9$.
Es ergibt sich somit, dass die Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen k Treffer zu erhalten gegeben ist durch: $${n \choose k} \cdot \frac{1}{2^n}.$$ Somit hat sich ergeben, dass die Zahlen im Pascal-Dreieck angeben, auf wie vielen unterschiedlichen Wegen die Position von ganz oben aus zu erreichen ist.
Stellen wir uns jetzt vor, dass das Galtonbrett so konstruiert ist, dass bei jedem Nagel die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung nach rechts $p$ und somit für den Sprung nach links $q=1-p$ beträgt, das kann z.B. dadurch erreicht werden, dass das Brett als ganzes nach rechts oder links geneigt wird. Für $p=\frac{1}{2}$ hätte man natürlich genau das oben analysierte Brett.
Gehen Sie zurück zur Simulation des Galtonbretts und geben Sie für p deutlich von 0.5 abweichende Werte ein, also z.B. $p=0.25$ und starten Sie erneut einen Durchgang.
Erklären Sie das Ergebnis!