Die Zahlen $a, b, c$ seien reelle Zahlen.
- Die Addition von $a$ und $b$ ist eindeutig, d.h
die Addition der beiden Zahlen bringt ein eindeutiges Element der
reellen Zahlenmenge $\mathbb{R}$ hervor.
\begin{equation*}
a+b=c \qquad a,b,c \in \mathbb{R}
\end{equation*}
- Das Kommutativgesetz:
\begin{equation*}
a +b = b + a \qquad \forall \quad a, b
\in \mathbb{R}
\end{equation*}
- Das Assoziativgesetz:
\begin{equation*}
(a+b)+ c=a+(b+c)\qquad \forall \quad
a, b, c \in \mathbb{R}
\end{equation*}
- Neutrales Element:
Es gibt genau ein Element $a$ für das gilt:
\begin{equation*}
a+b = b +a= b \qquad \forall \quad b \in
\mathbb{R}
\end{equation*}
Das neutrale Element ist nur für die Zahl 0 bestimmt ($a=0$).
- Inverses Element:
Es gibt genau ein Element $b$, so dass gilt:
\begin{equation*}
a +b=b+ a=0 \qquad \forall \quad a \in
\mathbb{R}
\end{equation*}
Für diesen Ausdruck gibt es nur eine zulässige Lösung, nämlich
$(b =-a)$. Das Inverse Element ist daher der
negative Zahlenwert der Zahl $a$.
Die Beschreibung der Elemente erscheint umständlich, ist
allerdings nötig, da jeder Zahlenkörper (Menge aller Elemente, auf
der eine Algebra definiert ist) diese Elemente für jede Operation
enthalten muss. Die Null ist das neutrale Element der Addition, da
das neutrale Element bezüglich der entsprechenden Operation,
verknüpft mit jedem anderen Element des Zahlenkörpers, den ersten
Operanden nicht ändern darf: $a+0=0+a$. Das inverse
Element der Addition muss bezüglich des zugehörigen Operanden das
neutrale Element ergeben, daher ist der negative Zahlenwert einer
Zahl auch sein inverses Element. $a+
(-a)=(-a)+a=0$.
Es sei an dieser Stelle noch einmal zu betonen, das Vertauschungen
der Operationen und Änderungen der Reihenfolge der Ausführungen
nicht immer erlaubt sind.