\begin{equation}
f(x)= a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0
\end{equation}
- Beispiel 1
\begin{equation*}
f(x)= x^4 - 2x^2 + 1
\end{equation*}
Dieses Polynom vierten Grades kann mit Hilfe der binomischen Formel umgeformt.
\begin{equation*}
x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2 = (x+1)(x-1)(x+1)(x-1)
\end{equation*}
Das Polynom hat also jeweils eine doppelte Nullstelle bei +1 und bei -1,
insgesamt also 4 reelle Nullstellen.
- Beispiel 2
\begin{equation*}
f(x)= x^4 + 2x^2 + 1
\end{equation*}
Auch dieses Polynom vierten Grades kann mit Hilfe der binomischen Formel
umgeformt werden:
\begin{equation*}
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2 = (x+i)(x-i)(x+i)(x-i).
\end{equation*}
Das Polynom hat also keine reelle Nullstelle, sondern vier komplexe
Nullstellen, die doppelt und kongugiert komplex zueinander sind.
- Beispiel 3
\begin{equation*}
f(x)= x^4 -1
\end{equation*}
Wiederum ergibt sich mit Hilfe der binomischen Formel:
\begin{equation*}
x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x+1)(x-1)(x+i)(x-i).
\end{equation*}
Das Polynom eine doppelte reelle Nullstelle und zwei konjugiert komplexe
Nullstellen, also vier Nullstellen.
Bei den vorstehenden Beispielen war die Faktorisierung, und damit die Bestimmung
der Nullstellen , vergleichsweise einfach. In aller Regel ist die Bestimmung sehr
schwierig.