Zur Einführung wird die Funktion
\begin{equation}
f(x)= (x-1)(x-2)(x+3)\qquad(*)
\end{equation}
betrachtet.
Durch Ausmultiplizieren erhält man
\begin{equation*}
f(x)= (x-1)(x-2)(x+3)=(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-3x^2+2x+3x^2-9x+6
\end{equation*}
und somit das Polynom 3.Grades
\begin{equation}
f(x)= x^3-7x+6.\qquad(**)
\end{equation}
Gleichung (*) ist also nur eine andere Schreibweise
für das Polynom (**) und heißt Faktorisierung von
(**), da sie aus Faktoren der Form $x\pm a$ besteht.
Aus der Faktorisierung eines Polynoms können unmittelbar die
Nullstellen eines Polynoms erkannt werden.
Aufgrund von Satz Produkt aus Null-Faktoren ist $(x-1)(x-2)(x+3)$ dann
Null, wenn $(x-1)=0$ oder $(x+3)=0$ oder $(x+3)=0$ gilt.
Damit ergeben sich genau drei Nullstellen nämlich
$x_1=1$, $x_2=2$ und $x_3=-3$.
Als nächstes betrachten wir die Gleichung
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=\\
&=&(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)(x^2-(x_3+x_4)x+x_3x_4)\\
&=&(x^4-(x_1+x_2)x^3+x_1x_2x^2)+(-(x_3+x_4)x^3+(x_3+x_4)(x_1+x_2)x^2-(x_3+x_4)x\cdot x_1x_2)
+(x_3x_4 x^2-x_3x_4(x_1+x_2)x+x_1x_2x_3x_4)\\
&=&x^4
-(x_1+x_2+x-3+x_4)x^3
+x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4x^2
-(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)x
+x_1x_2x_3x_4).
\end{eqnarray*}
Wir erhalten somit ein Polynom vierten Grades
$f(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$,
bei dem die Koeffizienten gegeben sind durch:
\begin{eqnarray}
a_3&=& -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\
a_2&=& x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 \\
a_1&=& -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4) \\
a_0&=& x_1 x_2 x_3 x_4.
\end{eqnarray}
Diese Beziehungen können folgendermaßen auf ein allgemeines Polynom vom Grad verallgemeinert werden:
Satz [Formeln von Vieta oder Wurzelsätze von Vieta]
Es sei
\[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots a_1x +a_0\]
ein Polynom mit den Nullstellen \(x_1, \dots, x_n\). Dann gelten die Beziehungen
\[x_1+x_2+ \dots +x_{n-1}+ x_n= - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]
\[(x_1 x_2+x_1 x_3+ \dots +x_{1}x_n)+(x_2 x_3+x_2 x_4+ \dots +x_{2}x_n ) + \dots + x_{n-1}x_n) = - \frac{a_{n-2}}{a_n}\]
\[\dots\]
\[x_1\cdot x_2\cdot\qquad \dots \qquad\cdot x_{n-1}\cdot x_n= (-1)^n \frac{a_{0}}{a_n}\]