Schon vor dreitausend Jahren konnten babylonische Mathematiker quadratische
Gleichungen lösen. Das Ziel aber, eine ähnliche Methode für Polynome dritten
Grades zu finden, stellte sich als extrem schwierig heraus.
Erst um 1500 konnte Cardano das Problem mit den von ihm entwickelten
Cardanischen Formeln lösen.
In diesem Zusammenhang arbeite er als einer der ersten mit komplexen Zahlen.
Die Cardanischen Formeln sind relativ kompliziert. Nebenstehend finden Sie
eine tabellarische Zusammenstellung dieser Formeln, die Sie aber nicht
beherrschen und in aller Regel auch nicht anwenden müssen.
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Normalform
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$x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 = 0$
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Reduzierte Form
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$y^3 + p y + q = 0 $
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$p= \frac{3a_3a_1-a_2^2}{9a_3^2}\qquad$
$q=\frac{a_2^3}{27a_3^3} - \frac{a_2a_1}{6a_3^2} + \frac{a_0}{2a_3}$
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Diskriminante
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$D = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3$
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Cardanische Formel
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$D>0$ Eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die für $D=0$ eine doppelt zu zählende Lösung liefern.
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$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+D}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$
$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-D}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$
$y_1=u+v$
$y_{2,3}=-\frac{u+v}{2} \pm \frac{u-v}{2}i\cdot \sqrt{3}$
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casus irreduciblis
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$D < 0 $ drei reelle Lösungen
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$b_2=\left(\frac{-p^3}{27}\right)^\frac{1}{2} \quad;\quad \arccos{\phi}=\frac{-q}{2b_2} $
$y_1=2{b_2}^\frac{1}{3} \cos\left(\frac{\phi}{3}\right)$
$y_2=2{b_2}^\frac{1}{3} \cos\left(\frac{\phi}{3}+2\frac{\pi}{3}\right)$
$y_3=2{b_2}^\frac{1}{3} \cos\left(\frac{\phi}{3}+4\frac{\pi}{3}\right)$
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