Abstandsmessung im der Ebene oder im Raum

Besonders wichtig ist der Satz von Pythagoras bei der Abstandsmessung im der Ebene oder im Raum.
Zwei Punkte $P_1=(x_1,y_1)$ und $P_2=(x_2,y_2)$ in der Ebene haben den Abstand \begin{equation} d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{equation}

Abstand in der Ebene

Zwei Punkte $P_1=(x_1,y_1, z_1)$ und $P_2=(x_2,y_2, z_2)$ im dreidimensionalen Raum haben den Abstand \begin{equation} d(P_1,P_2)= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \end{equation} Diese Beziehung ergibt sich aus der neben stehenden Abbildung. Die Diagonale der Grundfläche $e$ ist gegeben durch: \begin{equation}e=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\end{equation} Daraus ergibt sich (wiederum mit Pythagoras) für die Raum-Diagonale d: \begin{equation*} d(P_1,P_2)=\sqrt{e^2+(z_2-z_1)^2}= \end{equation*} \begin{equation*} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \end{equation*}

Abstand im Raum