Eine Folge entsteht, wenn natürlichen Zahlen aus $\mathbb{N}$ durch Vorschrift jeweils genau eine reelle Zahl zugeordnet wird. Bei unendlichen Folgen ist es interessant, wie sich die Folge verhält,wenn $n$ sehr groß wird. Bei beliebig großem $n$ nähert sich eine unendliche Folge einem bestimmten Wert an.
\begin{equation*} \left(\frac{1}{n}\right)=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots\approx 0 \end{equation*}
Je größer $n$ gewählt wird, desto kleiner wird das jeweilige Glied der Folge und desto näher kommt das Glied der Folge dem Wert $0$, besser gesagt, wenn $n$ gegen $\infty$ strebt, dann erreicht die Folge den Grenzwert 0.
[Konvergenz von Folgen]

Eine Folge $a_{n}$ heißt konvergente Folge, wenn die Glieder der Folge beliebig nahe an eine Zahl $\bar{A}$ gewählt werden kann, indem $n$ hinreichend groß gewählt wird. \begin{equation} \lim \limits_{n \to \infty}=\bar{A} \quad oder \quad a_{n} \rightarrow \bar{A},\qquad wenn n \rightarrow \infty \end{equation}
Die Definition stellt einen Spezialfall der Grenzwerte dar, die in Kapitel \ref{chap:ch1-sec:Grenzwerte und Stetigkeit} behandelt werden.

Besitzt eine Reihe einen unendlichen Wert, kann der Begriff der Konvergenz von Folgen auf Reihen übertragen werden. %Dabei wird %untersucht, ob die Folge der Partialsummen $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} %a_{i}$ für $n \rightarrow \infty$ gegen einen Grenzwert $\bar{A}$ %konvergiert.
[Konvergenz von Reihen]

Konvergiert die Folge $S_{n}$ der Partialsummen einer unendlichen Reihe gegen einen Grenzwert $\bar{A}$, so heißt $\bar{A}$ die Summe der unendlichen Reihe. \begin{equation*} \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \lim \limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} = \bar{A}= \sum_{i=1}^{\infty} a_{i} \end{equation*}
Nur wenn $a_{1}=d=0$ gilt, ist eine unendliche arithmetische Reihe konvergent. Andernfalls wird die Summe einer unendlichen arithmetischen Reihen unendlich groß (bzw. klein).\\ Die Konvergenz bei einer geometrische Reihe, hängt letztendlich vom Quotienten $k$ ab.$k$ bestimmt, ob eine geometrische Reihe gegen $\infty$ strebt oder ob sie einen endlichen Wert besitzt. Diese Aussage kann mit Hilfe der Summe für die geometrische Reihe bewiesen werden. \begin{eqnarray*} S_{n} & = & \sum_{i=1}^{n} = a_{1} \cdot \frac{(1-k^{n})}{1-k} \qquad k\neq1\\ \lim \limits_{n \to \infty}S_{n} & = &\lim \limits_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{(1-k^{n})}{(1-k)}\\ & = & \frac{a_{1}}{(1-k)}+\lim \limits_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{(-k^{n})}{(1-k)}\\ & = & \frac{a_{1}}{(1-k)}-\frac{a_{1}}{(1-k)}\lim \limits_{n \to \infty} k^{n} \end{eqnarray*} Eine Untersuchung, ob die Folge $k^{n}$ einen Grenzwert besitzt,genügt, um zu zeigen, ob die geometrische Reihe gegen $\infty$ strebt oder einen endlichen Wert annimmt. \begin{equation*} |k|>1: \lim \limits_{n \to \infty} k^{n}= \pm \infty\qquad \rightarrow divergent \end{equation*} Ist der Betrag von k größer 1,dann ist $\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}$ nicht konvergent, sondern ebenfalls divergent. \begin{equation*} |k|<1: \lim \limits_{n \to \infty} k^{n}= 0 \qquad \rightarrow konvergent \end{equation*} Ist er Betrag von k kleiner 1, so gilt für den Grenzwert von $S_{n}$: \begin{equation*} \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \sum _{i=1}^{\infty}a_{1} = \frac{a_{1}}{1-k} \end{equation*} \begin{equation*} |q|=1: \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \sum _{i=1}^{\infty} a_{1} =\lim \limits_{n \to \infty} (n\cdot a_{0}) \end{equation*} Im Fall $|k|=1$ ergibt sich als Grenzwert $n\cdot a_{i}$. Ist $a_{1}\neq0$, dann wird dieser Ausdruck divergent, wenn $a_{1}=0$ ist er konvergent.
Ergebnis:
Unendliche geometrische Reihen sind nur dann konvergent, wenn $-1 < k< +1$ oder $a_{1}=0$ gilt.