Eine Folge entsteht, wenn natürlichen Zahlen aus $\mathbb{N}$
durch Vorschrift jeweils genau eine reelle Zahl zugeordnet wird.
Bei unendlichen Folgen ist es interessant, wie sich die Folge
verhält,wenn $n$ sehr groß wird. Bei beliebig großem $n$ nähert
sich eine unendliche Folge einem bestimmten Wert an.
\begin{equation*}
\left(\frac{1}{n}\right)=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots\approx 0
\end{equation*}
Je größer $n$ gewählt wird, desto kleiner wird das jeweilige Glied
der Folge und desto näher kommt das Glied der Folge dem Wert $0$,
besser gesagt, wenn $n$ gegen $\infty$ strebt, dann erreicht die
Folge den Grenzwert 0.
[Konvergenz von Folgen]
Eine Folge $a_{n}$ heißt konvergente Folge, wenn die Glieder der
Folge beliebig nahe an eine Zahl $\bar{A}$ gewählt werden kann,
indem $n$ hinreichend groß gewählt wird.
\begin{equation}
\lim \limits_{n \to \infty}=\bar{A} \quad oder \quad a_{n}
\rightarrow \bar{A},\qquad wenn n \rightarrow \infty
\end{equation}
Die Definition stellt einen Spezialfall der Grenzwerte dar, die in
Kapitel \ref{chap:ch1-sec:Grenzwerte und Stetigkeit} behandelt
werden.
Besitzt eine Reihe einen unendlichen Wert, kann der Begriff der
Konvergenz von Folgen auf Reihen übertragen werden. %Dabei wird
%untersucht, ob die Folge der Partialsummen $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}
%a_{i}$ für $n \rightarrow \infty$ gegen einen Grenzwert $\bar{A}$
%konvergiert.
[Konvergenz von Reihen]
Konvergiert die Folge $S_{n}$ der Partialsummen einer unendlichen
Reihe gegen einen Grenzwert $\bar{A}$, so heißt $\bar{A}$ die
Summe der unendlichen Reihe.
\begin{equation*}
\lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \lim \limits_{n \to
\infty}\sum_{i=1}^{n} = \bar{A}= \sum_{i=1}^{\infty} a_{i}
\end{equation*}
Nur wenn $a_{1}=d=0$ gilt, ist eine unendliche arithmetische Reihe
konvergent. Andernfalls wird die Summe einer
unendlichen arithmetischen Reihen unendlich groß (bzw. klein).\\
Die Konvergenz bei einer geometrische Reihe, hängt letztendlich
vom Quotienten $k$ ab.$k$ bestimmt, ob eine geometrische Reihe
gegen $\infty$ strebt oder ob sie einen endlichen Wert besitzt.
Diese Aussage kann mit Hilfe der Summe für die geometrische Reihe
bewiesen werden.
\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & \sum_{i=1}^{n} = a_{1} \cdot \frac{(1-k^{n})}{1-k} \qquad k\neq1\\
\lim \limits_{n \to \infty}S_{n} & = &\lim \limits_{n \to \infty}
a_{1} \cdot \frac{(1-k^{n})}{(1-k)}\\
& = & \frac{a_{1}}{(1-k)}+\lim \limits_{n \to \infty} a_{1} \cdot
\frac{(-k^{n})}{(1-k)}\\
& = & \frac{a_{1}}{(1-k)}-\frac{a_{1}}{(1-k)}\lim \limits_{n \to
\infty} k^{n}
\end{eqnarray*}
Eine Untersuchung, ob die Folge $k^{n}$ einen Grenzwert
besitzt,genügt, um zu zeigen, ob die geometrische Reihe gegen
$\infty$ strebt oder einen endlichen Wert annimmt.
\begin{equation*}
|k|>1: \lim \limits_{n \to \infty} k^{n}= \pm \infty\qquad
\rightarrow divergent
\end{equation*}
Ist der Betrag von k größer 1,dann ist $\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}$
nicht konvergent, sondern ebenfalls divergent.
\begin{equation*}
|k|<1: \lim \limits_{n \to \infty} k^{n}= 0 \qquad \rightarrow
konvergent
\end{equation*}
Ist er Betrag von k kleiner 1, so gilt für den Grenzwert von
$S_{n}$:
\begin{equation*}
\lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \sum _{i=1}^{\infty}a_{1} =
\frac{a_{1}}{1-k}
\end{equation*}
\begin{equation*}
|q|=1: \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}= \sum _{i=1}^{\infty}
a_{1} =\lim \limits_{n \to \infty} (n\cdot a_{0})
\end{equation*}
Im Fall $|k|=1$ ergibt sich als Grenzwert $n\cdot a_{i}$. Ist $a_{1}\neq0$,
dann wird dieser Ausdruck divergent, wenn $a_{1}=0$ ist er konvergent.
Ergebnis:
Unendliche geometrische Reihen sind nur dann
konvergent, wenn $-1 < k< +1$ oder $a_{1}=0$ gilt.