Mit arithmetischer Folge wird die Zahlenfolge bezeichnet, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder immer konstant ist. Das nachfolgende Glied ist also immer um einen konstanten Zahlenwert d größer als das vorhergegangene Glied.

Definition [Arithmetische Folge]

Eine Folge $(a_{n})$ heißt arithmetische Folge, wenn für alle aufeinander folgenden Glieder $a_{n+1}-a_{n}=d=const$ gilt.
Die arithmetische Folge wird durch das Anfangsglied $a_{1}$ und der konstanten Differenz $d$ charakterisiert. Allgemein unterliegt eine arithmetische Folge dem Bildungsgesetz: \begin{equation} a, a+d,a+2d,a+3d,\ldots,a+ n\cdot d\\ \Rightarrow a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d \end{equation} Die Berechnung der Glieder ist rekursiv, d.h jedes Glied wird aus dem vorangegangenen Glied berechnet. Durch die wiederholte Anwendung dieser Rekursivformel kann jedes Glied auf den Anfangswert der Reihe zurückgeführt werden. Wird aus den ersten $n$ Gliedern einer arithmetischen Folge eine Reihe gebildet, indem die einzelnen Glieder aufsummiert werden, so erhält man eine arithmetische Reihe der Art \begin{equation} s_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots+ a_{n-1}+ a_{n} \end{equation} Durch das Bildungsgesetz für arithmetische Folgen ist die Reihe wie folgt darstellbar: \begin{equation} s_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\ldots+(a_{1}+(n-1)\cdot d)+(a_{1}+n\cdot d) \qquad (*) \end{equation}
Definition [Arithmetische Reihe]

Ist $a_{n}$ eine arithmetische Folge und es gilt $a_{n+1}-a_{n}=d \in \mathbb{R}$, so ist $s_{n}=\sum_{i=0}^{n} a_{i}$ die dazugehörige arithmetische Reihe.
Das Assoziativgesetz erlaubt es, die Summanden in umgekehrter Reihenfolge auf zu listen: \begin{equation} S_{n}=[a_{1}+(n-1)\cdot d]+[a_{1}+(n-2)\cdot d]+[a_{1}+(n-3))\cdot d]+\ldots+a_{1}\qquad (**) \end{equation} Mit Hilfe eines kleinen Kniffs kann die Summenformel für eine arithmetische Reihe aus den Reihen (*) und (**) ermittelt werden. Im ersten Schritt werden die beiden Reihen addiert. \begin{equation*} 2S_{n}=[a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d]+[a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d]+[a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d]+\ldots+[a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d] \end{equation*} Es ist zu sehen, dass in der Summe $n$ Summanden mit \begin{equation*} [a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d] \end{equation*} stehen. Die Reihe kann vereinfacht werden zu: \begin{equation*} 2S_{n}= n\cdot [a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d] \end{equation*} Die Division durch $2$ ergibt: \begin{equation*} S_{n}=\frac{n\cdot [a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d]}{2} \end{equation*} Anhand des Bildungsgesetz für arithmetische Reihen kann $a_{n}$ durch $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$ in obiger Gleichung ersetzt werden: \begin{equation*} S_{n}=\frac{n\cdot[a_{1}+a_{n}]}{2} \end{equation*} Die nun entstandene Gleichung ist die allgemeine Formel für eine arithmetische Reihe. Für vertiefende Erklärungen zur Summenformel in Anwendung mit arithmetischen Reihen siehe senger:2007 , S.73 ff.]