Es scheint so, als ob damit jedem Punkt auf der Zahlengerade eine rationale Zahl entspricht.
Schon im klassischen Griechenland wurde - zur großen Verblüffung - festgestellt, dass es Strecken in der Geometrie gibt, die nicht mit rationalen Zahlen gemessen werden können. Nach immer wieder erzählten Legenden sollen die Pythagoreer diese Erkenntnis sogar als Sakrileg empfunden haben, widersprach es doch ihrer Überzeugung: 'Alles ist (rationale) Zahl' und sie sollen erleichtert gewesen sein, dass der Übermittler dieser Erkenntnis, Hippasos von Metapont, vom Meer verschlungen wurde.
Dabei ist es vergleichsweise einfach zu zeigen, dass z.B. die Diagonale in einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 also die Strecke $\sqrt{2}$ nicht als Bruch ganzer Zahlen und somit nicht als rationale Zahl bestimmbar ist.
Solche Zahlen werden irrationale Zahlen genannt. Die bekanntesten irrationalen Zahlen sind $\pi$ und die Eulersche Zahl $e$, aber auch viele Wurzeln aus ganzen Zahlen wie etwa $\sqrt{3}$ oder $\sqrt{6}$ gehören zu dieser Menge. Wird den rationalen Zahlen die Menge der irrationalen Zahlen zugefügt, so erhält man die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Reelle Zahlen besitzen also generell eine endliche oder unendlich periodische oder unendlich nicht-periodische Dezimaldarstellung.
Die Darstellung des Zahlenstrahls ändert sich optisch nicht gegenüber dem der rationalen Zahlen. Es ist aber zu beachten, dass zwischen den unendlich vielen rationalen Zahlen noch unendlich viele irrationale Zahlen liegen.

Zahlenstrahl der reellen Zahlen

Es kann gezeigt werden, dass mit dem Einfügen der nicht-rationalen Zahlen in den Zahlenstrahl dieser jetzt voll ist, dass also jede reelle Zahl einem Punkt der Gerade und jeder Punkt einer reellen Zahl entspricht.

Im ökonomischen Kontext wird in der Regel die Annahme getroffen, dass die betrachteten Größen wie z.B. Preise oder Gütermengen nicht negativ sein dürfen.
Für den Fall, dass nur positive reelle Zahlen betrachtet werden, ist die Anwendung der folgenden Schreibweise gültig: \begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{+}&:=&\mbox{{alle positiven reellen Zahlen}}. \end{eqnarray*}
Für den Fall, dass nur positive reelle Zahlen unter Einschluss der Null betrachtet werden, findet die folgende Schreibweise Verwendung: \begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{+}_{0}&:=&\mbox{{alle nichtnegativen reellen Zahlen}}\\ &:=&\mbox{{alle positiven reellen Zahlen und die Null}}. \end{eqnarray*}