Es scheint so, als ob damit jedem Punkt auf der Zahlengerade eine rationale Zahl entspricht.
Schon im klassischen Griechenland wurde - zur großen Verblüffung - festgestellt,
dass es Strecken in der Geometrie gibt, die nicht mit rationalen Zahlen gemessen werden können. Nach
immer wieder erzählten Legenden sollen die Pythagoreer diese Erkenntnis sogar
als Sakrileg empfunden haben, widersprach es doch ihrer Überzeugung: 'Alles ist
(rationale) Zahl' und sie sollen erleichtert gewesen sein, dass der Übermittler
dieser Erkenntnis, Hippasos von Metapont, vom Meer verschlungen wurde.
Dabei ist es vergleichsweise einfach zu zeigen, dass z.B. die Diagonale in einem Quadrat mit der
Seitenlänge 1 also die Strecke $\sqrt{2}$ nicht als Bruch ganzer Zahlen und
somit nicht als rationale Zahl bestimmbar ist.
Solche Zahlen werden irrationale Zahlen genannt. Die bekanntesten irrationalen
Zahlen sind $\pi$ und die Eulersche Zahl $e$, aber auch viele Wurzeln aus
ganzen Zahlen wie etwa $\sqrt{3}$ oder $\sqrt{6}$ gehören zu
dieser Menge. Wird den rationalen Zahlen die Menge der
irrationalen Zahlen zugefügt, so erhält man die Menge
der reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Reelle Zahlen besitzen
also generell eine endliche oder unendlich periodische oder
unendlich nicht-periodische Dezimaldarstellung.
Die Darstellung des Zahlenstrahls ändert sich optisch nicht gegenüber dem der
rationalen Zahlen. Es ist aber zu beachten, dass zwischen den
unendlich vielen rationalen Zahlen noch unendlich viele irrationale Zahlen
liegen.
Zahlenstrahl der reellen Zahlen
Es kann gezeigt werden, dass mit dem Einfügen der nicht-rationalen Zahlen
in den Zahlenstrahl dieser jetzt voll ist, dass also jede reelle Zahl
einem Punkt der Gerade und jeder Punkt einer reellen Zahl entspricht.
Im ökonomischen Kontext wird in der Regel die Annahme getroffen, dass
die betrachteten Größen wie z.B. Preise oder Gütermengen nicht
negativ sein dürfen.
Für den Fall, dass nur positive reelle
Zahlen betrachtet werden, ist die Anwendung der folgenden
Schreibweise gültig:
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}^{+}&:=&\mbox{{alle positiven reellen Zahlen}}.
\end{eqnarray*}
Für den Fall, dass nur positive reelle
Zahlen unter Einschluss der Null betrachtet werden, findet die
folgende Schreibweise Verwendung:
\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}^{+}_{0}&:=&\mbox{{alle nichtnegativen reellen Zahlen}}\\
&:=&\mbox{{alle positiven reellen Zahlen und die Null}}.
\end{eqnarray*}