Zwei ganze Zahlen können addiert und multipliziert werden und das Ergebnis
ist wieder eine ganze Zahl. Wenn aber eine ganze Zahl durch eine
andere dividiert werden soll, dann ist das häufig nicht möglich, denn es gibt in
den ganzen Zahlen keine Lösung für z.B. $11:4$. Diese Aufgabe kann teilweise
gelöst werden:
\begin{equation*}
11:4=(8+3):4=2 + 3:4.
\end{equation*}
Der Term $3:4$ ist aber innerhalb von $\mathbb{Z}$ nicht lösbar.
Um das Problem zu lösen, wird zu einem ähnlichen Trick gegriffen, wie er auch
schon bei der Einführung der ganzen Zahlen genutzt wurde. Man definiert für beliebige
$m,n\in \mathbb{N}$ mit
$m < n$
den echten Bruch $\frac{m}{n}$ durch:
$$\frac{m}{n}\stackrel{\mathrm{def}}{=}m:n$$
Wird die Menge der ganzen Zahlen um die Menge
der Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen, also als
Bruch schreiben lässt, erweitert, so wird sie als Menge der
rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Es wird an
dieser Stelle darauf verwiesen, dass die Zahl 0 nicht im Nenner
des Quotienten stehen darf, da eine Division durch 0 nicht
definiert ist:
\begin{equation*}
\mathbb{Q}= \left\{ \frac {p}{q} \mid \, {p,q}\in \mathbb{Z} ,
q\neq 0 \right\}.
\end{equation*}
Rationale Zahlen lassen sich auch als Dezimalzahlen schreiben, die
endlichen oder unendlich-periodischen Charakter haben.
- Endlich: $\frac{7}{8}$=0,875 ; $\frac{1}{4}$=0,25
- Unendlich, aber periodisch: $\frac{1}{3}$=0,333333333333$\ldots$ ;
$\frac{1}{6}$=0,166666666$\ldots$.
Da jede ganze Zahl als Bruch dargestellt werden kann (z.B.
$2=\frac {2} {1}$), sind die ganze Zahleneine Teilmenge der rationalen
Zahlen.
Wird der Zahlenstrahl der rationalen Zahlen gezeichnet, so ergibt sich eine
Gerade von $-\infty$ bis $+\infty$.
Es gibt keine Lücken wie bei den natürlichen oder den ganzen Zahlen.
Zwischen zwei noch so eng nebeneinander liegenden Zahlen liegen unendlich viele
weitere rationale Zahlen.
Zahlenstrahl der rationalen Zahlen