\begin{equation*}
f(x)=x^2 - 6x + 13.
\end{equation*}
Lösungen nach der
p-q-Formel
\begin{equation*}
x_{1,2}= 3\pm\sqrt{9-13}=3\pm 2\sqrt{-1} = 3\pm 2 i.
\end{equation*}
Probe durch Einsetzen:
\begin{equation*}
f(x_1)=(3+2\sqrt{-1})^2-6(3+2\sqrt{-1})+13= 9+6\sqrt{-1} +4\cdot(-1)-18 -
12\sqrt{-1}+13 = 9-4-18+13 = 0.
\end{equation*}
$x_1$ löst also die Gleichung.
\begin{equation*}
f(x_2)=(3-2\sqrt{-1})^2-6(3-2\sqrt{-1})+13= 9-6\sqrt{-1} +4\cdot(-1)-18 +
12\sqrt{-1}+13 = 9-4-18+13 =0.
\end{equation*}
$x_2$ löst auch die Gleichung.
Komplexe Zahlen spielen insbesondere in Wissenschaftsgebieten eine Rolle, die
Drehbewegungen untersuchen, also in der Physik, in der Ingenieurwisseschaften etc. Auch in der Ökonomie sind komplexe
Zahlen bei Untersuchung von Zyklen (Konjunkturzyklen, Wachstumszyklen etc)
wichtig. Ihre ausführliche Behandlung verschieben wir darum auf das Kapitel
Differentialgleichungen.