Werden zwei natürliche Zahlen addiert, so ist das Ergebnis wieder
eine natürliche Zahl.
Wenn aber von einer natürlichen Zahl eine andere subtrahiert werden soll, ist
das häufig nicht möglich, es gibt in den natürlichen Zahlen keine Lösung für
z.B. $4-7$.
Um das Problem zu lösen, werden die negativen Zahlen eingeführt.
Für beliebiges $n\in \mathbb{N}$ wird die negative Zahl $-n$ definiert durch:
$$-n\stackrel{\mathrm{def}}{=}0-n.$$
Mit dieser Definition kann jetzt jede Subtraktion ausgeführt werden. Es ist
beispielsweise für die obige unlösbare Subtraktion 4-7:
\begin{equation*}
4-7=4-(4+3)=0-3=-3.
\end{equation*}
Werden die natürlichen
Zahlen um die negativen Zahlen erweitert, so wird die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ gebildet:
\begin{equation*}
\mathbb{Z}=\{{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\ldots\ }\}.
\end{equation*}
Der Zahlenstrahl erweitert sich nach links ausgerichtet um die Null und die
negativen Zahlen.
←
-8 -7 -6 -5
-4 -3 -2 -1
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 →
Zahlenstrahl der ganzen Zahlen
Anmerkung:
Die obige Vorgehensweise hat etwas von 'Trickserei' an
sich. Ausgehend von der Beziehung $0-n$, die keine Lösung besitzt, wird
diese Beziehung selbst als Lösung erklärt. Dieser 'Trick' hat sich aber als so
fruchtbar erwiesen, dass er in der Mathematik immer wieder angewandt wird. Wir werden
einem solchen Trick bei der Einführung der rationalen Zahlen und der komplexen
Zahlen wieder begegnen.