Werden zwei natürliche Zahlen addiert, so ist das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl. Wenn aber von einer natürlichen Zahl eine andere subtrahiert werden soll, ist das häufig nicht möglich, es gibt in den natürlichen Zahlen keine Lösung für z.B. $4-7$. Um das Problem zu lösen, werden die negativen Zahlen eingeführt. Für beliebiges $n\in \mathbb{N}$ wird die negative Zahl $-n$ definiert durch: $$-n\stackrel{\mathrm{def}}{=}0-n.$$ Mit dieser Definition kann jetzt jede Subtraktion ausgeführt werden. Es ist beispielsweise für die obige unlösbare Subtraktion 4-7: \begin{equation*} 4-7=4-(4+3)=0-3=-3. \end{equation*} Werden die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen erweitert, so wird die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ gebildet: \begin{equation*} \mathbb{Z}=\{{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\ldots\ }\}. \end{equation*} Der Zahlenstrahl erweitert sich nach links ausgerichtet um die Null und die negativen Zahlen.

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Zahlenstrahl der ganzen Zahlen

Anmerkung:
Die obige Vorgehensweise hat etwas von 'Trickserei' an sich. Ausgehend von der Beziehung $0-n$, die keine Lösung besitzt, wird diese Beziehung selbst als Lösung erklärt. Dieser 'Trick' hat sich aber als so fruchtbar erwiesen, dass er in der Mathematik immer wieder angewandt wird. Wir werden einem solchen Trick bei der Einführung der rationalen Zahlen und der komplexen Zahlen wieder begegnen.