a)Bestimmung der Nachfragefunktion
Wir betrachten in einer Tauschökonomie ein Individuum mit der
Nutzenfunktion
$$u(x_1, x_2) = x_1^{a_1} x_2^{a_2}$$
Die Anfangsausstattung sei $(w_1,w_2)$.
(Irgendein sonstiges Einkommen beziehe das Individuum nicht.)
Die Nachfragefunktion $\vec{x} = \vec{x}(\vec{p},\vec{p} \cdot
\vec{w})$ ergibt sich aus der Budgetbedingung und der
Optimalitätsbedingung
$$
\frac{\partial U/\partial x_1 }{ \partial U/\partial x_2} =
\frac{{a_1x_1^{a_1-1} \cdot x_2^{a_2} }{ a_2x_1^{a_1}x_2^{a_2-1}}} =
\frac{a_1x_2 }{ a_2x_1} = \frac{p_1 }{ p_2}$$
$$p_2x_2 = \frac{a_2 }{ a_1} p_1x_1 $$
Daraus folgt mit der Budgetbedingung
$$ \left( 1 + \frac{a_2 }{ a_1}\right) p_1x_1 = p_1w_1 + p_2w_2 $$
$$\frac{1 }{ a_1} (a_1 + a_2) p_1x_1 = p_1w_1 + p_2w_2 $$
Setzen wir $r = a_1 + a_2$ so ergibt sich:
$$x_1 = \frac{a_1(p_1w_1 + p_2w_2) }{ p_1r}
= \frac{a_1 }{ r} \left( w_1 + w_2 \frac{p_2 }{ p_1}\right) $$
$$x_2 = \frac{a_2(p_1w_1 + p_2w_2) }{ p_2r}
= \frac{a_2 }{ r} \left(w_1 \frac{p_1 }{ p_2} + w_2\right) $$
Die linken Gleichungen können verkürzt so geschrieben werden:
$$ x_1 = \frac{a_1\cdot I}{ r\cdot p_1} $$
$$x_2 = \frac{a_2\cdot I}{ r\cdot p_2} $$
mit
$$I = p_1w_1+p_2w_2 $$
$I$ kann als Gewinn (Einkommen) des Haushalts aus dem Verkauf
seiner Anfangsausstattung interpretiert werden.
b) Bestimmung von Gleichgewichtspreisen
Im folgenden sollen Gleichgewichtspreise für den Zwei-Güter
Cobb-Douglas Fall mit Hilfe der Nachfragefunktionen $\vec{x}_i =
\vec{x}_i (\vec{p}, \vec{p}\cdot \vec{w}_i)$ bestimmt werden.
Wie abgeleitet gilt im Cobb-Douglas Fall für den Konsumenten $i$:
$$x_{i1} = {a_{i1}(p_1 \cdot w_{i1} + p_2 \cdot w_{i2})\over p_1} =
a_{i1}\left(w_{i1} + \frac{p_2}{ p_1} w_{i2}\right)$$
und
$$x_{i2} = {a_{i2}(p_1 \cdot w_{i1} + p_2 \cdot w_{i2})\over p_2} =
a_{i2}\left(\frac{p_1}{ p_2} w_{i1} + w_{i2}\right)$$ Außerdem
müssen die Markträumungsbedingungen gelten, also für Markt 1
$$x_{11} + x_{21} = w_{11} + w_{21}$$
Damit ergibt sich
$$a_{11} w_{11} + \frac{p_2}{ p_1} a_{11} w_{12} + a_{21} w_{21} +
\frac{p_2}{ p_1} a_{21} w_{22} = w_{11} + w_{21}$$
$$\frac{p_2}{ p_1} \left( a_{11} w_{12} + a_{21} w_{22}\right) = (1
- a_{11}) w_{11} + (1 - a_{21}) w_{21}$$
$$\frac{p_2}{ p_1} = {a_{12} \cdot w_{11} + a_{22} \cdot w_{21}\over
a_{11} \cdot w_{12} + a_{21} \cdot w_{22}}$$ Damit sind relative
Preise bestimmt.
c) Bestimmung der Tauschkurve
(Die Tauschkurve wird hier nur für ein Indiduum aufgestellt. Somit kann der Laufindex i vernachlässigt werden.)
Die Tauschkurve ist die Menge aller Haushaltsoptima des
Individuums mit der Anfangsausstattung $\vec{w} = (w_1,w_2)$. Es
ergibt sich
$$%?\left.
\Longrightarrow \frac{r }{ a_1} x_1 = w_1 + \frac{p_2 }{ p_1} w_2 \ \
\Longrightarrow \ \ {r x_1 -a_1 w_1 \over a_1 w_2}
= \frac{p_2 }{ p_1}$$
$$\Longrightarrow
\frac{r }{ a_2} x_2 = \frac{p_1 }{ p_2} w_1 + w_2 \ \ \Longrightarrow
\ \ {r x_2 -a_2 w_2 \over a_2 w_1} =\frac{p_1 }{ p_2}
%?? \right\}
\Longrightarrow $$
$${r x_2 - a_2 w_2 \over a_2 w_1} = {a_1 w_2 \over r x_1 - a_1 w_1}$$
$$r x_2 ={a_1a_2w_1w_2\over r x_1-a_1w_1}+a_2 w_2$$
$$r x_2={a_1a_2w_1w_2 + r x_1 a_2 w_2 - a_1 a_2 w_1w_2\over r x_1 - a_1w_1}$$
$$x_2 ={a_2w_2x_1\over rx_1-a_1w_1}$$
$$x_2 = \frac{A}{ r - \frac{B}{ x_1}} $$
mit
$$A = a_2 w_2 $$
$$B = a_1 w_1 $$
Dies ist eine Tauschkurve. Sie läuft (natürlich) durch den Punkt
(1,1) und entspricht einer in $x_1$ und $x_2$ Richtung
verschobenen und (durch Multiplikation mit 4) verzerrten Hyperbel.