Beweis:
Wir betrachten folgende Preisanpassungsfunktion
$$\vec{g}(\vec{p}) : S^{k-1} \rightarrow S^{k-1}$$
$$g_i (\vec{p}) = {p_i + \max (0, z_i (\vec{p})) \over 1 +
\sum_{j=1}^k \max (0, z_j (\vec{p}))} \qquad\hbox{$i=1, \dots,
k$}$$
Zähler: Auf einem Markt wird mehr nachgefragt als vorhanden,
so wird der Preis erhöht.
Nenner: führt zur erforderlichen Normierung.
$g_i(\vec{p})$ ist stetig, da $z_i$ und $\max$ stetige Funktionen
sind, so $\vec{g}(\vec{p})$ ist in $S^{k-1}$.
Somit gibt es nach dem Fixpunktsatz von Brouwerscher Fixpunktsatz
ein
$$\vec{p}^* = \vec{g}(\vec{p}^*)$$
bzw. für jede Komponente von $\vec{p}^*$ gilt
$$p_i^* = {p_i^* + \max \left\{ 0, z_i (\vec{p}^*)
\right\} \over 1 + \sum \max \left\{ 0, z_j (\vec{p}^*)
\right\}} \qquad\hbox{$i = 1, \dots, k$}$$
$$p_i^* \cdot \sum_j \max \lbrace 0, z_j (\vec{p}^*)
\rbrace = \max (0, z_i (\vec{p}^*))$$
Multiplizieren mit $z_i(\vec{p}^*)$
$$z_i(\vec{p}^*) \cdot p_i^* \sum_j \max \left\{ 0, z_j(\vec{p}^*) \right\} =
z_i(\vec{p}^*) \max \left\{ 0, z_i(\vec{p}^*)\right\}$$
Die Beziehung gilt für jedes i. Summation über alle i führt zu
$$\underbrace{\sum_{j=1}^n \max \lbrace 0, z_j(\vec{p}^*) \rbrace \cdot
\underbrace{\sum_{i=1} z_i(\vec{p}^*) \cdot p_i}_{\hbox{ = 0 (Walras)}} }
_{\hbox{= 0}}
= \sum_{i=1}^n z_i(\vec{p}^*) \max \lbrace 0, z_i(\vec{p}^*)\rbrace$$
$$0 = \sum_{i=1}^n z_i(\vec{p}^*) \max \lbrace 0, z_i(\vec{p}^*)
\rbrace \qquad (+)$$
Für die Summe auf der rechten Seite gilt:
- ist $z_i > 0$, dann ist $z_i(\vec{p}^*) \quad \max \lbrace 0, z_i(\vec{p}^*)\rbrace$ auch positiv
- ist $z_i \leq 0$, dann ist $z_i(\vec{p}^*) \quad \max \lbrace 0, z_i(\vec{p}^*)\rbrace$
Null
Für die Gültigkeit von (+) ist somit erforderlich
$$ z_i \quad \max \lbrace 0, z_i \rbrace = 0 \Rightarrow
z_i(p) \le 0$$
Das bedeutet
$$z_i(\vec{p}^*) \le 0 \qquad\hbox{für alle } i$$