Die Edgeworth-Box zeigt, dass die Definition eines
Marktgleichgewichts und eines Pareto-Optimums i. A. zu den selben
Mengen führt. Das muss aber nicht sein. Tangentialpunkt ist ein
Pareto-Optimum aber kein Gleichgewicht.
\underbar{Satz:} Es sei $\vec{x}_i^* = \vec{x}_i^* \left(\vec{p},
\vec{p} \cdot \vec{w}_i \right)$ das Haushaltsoptimum und
$U\left(\vec{x}_i^{'} \right) > U\left(\vec{x}_i^* \right)$.
Dann gilt
$$\vec{p} \cdot \vec{x}_i^{'} > \vec{p} \cdot \vec{x}_i^* = \vec{p}
\vec{w}_i$$ (dies gibt die eigentlich selbstverständliche Tatsache
wieder, dass jedes Bündel, das besser als das Haushaltsoptimum
ist, mit dem Einkommen nicht erreichbar ist).
\underbar{Beweis:}
Annahme: 1. $ \vec{p} \cdot \vec{x}_i^{'} \le \vec{p} \cdot
\vec{x}_i^* \ \ \hbox{(+)}$
\qquad \qquad \quad 2. und für das Haushaltsoptimum gilt:
$\vec{x}_i^* = \vec{x}_i^* \left(\vec{p}, \vec{p}\cdot \vec{w}_i
\right)$.
Sei $\vec{x}_i$ das Haushaltsoptimum, dann muss gelten
$$\Rightarrow \vec{p} \cdot \vec{x}_i \le \vec{p} \cdot \vec{w}_i$$.
Wegen $(+) \hbox{ist} \ \vec{p} \cdot \vec{x}_i^{'} \le \vec{
p}\cdot \vec{ w}_i$, also ist $\vec{x}_i^{'}$ ein präferiertes
zulässiges Güterbündel.
Damit ist $\vec{x}_i^{'}$ nicht das Haushaltsoptimum.