Unterstellen Sie eine Ökonomie mit m Konsumenten, deren Nutzenfunktionen bezüglich von n Gütern $U_i(x_{i1}, x_{i2},\dots ,x_{in})$ gegeben sind. Die Gütermengen $x_j$ werden gemäß der Produktionsfunktion $x_j = f_1(w_{j1},w_{j2},\dots,w_{jr})$ hergestellt. Dabei ist $w_{jk}$ die Faktormenge von Faktor $k$, der bei der Produktion von Gut $j$ eingesetzt wird. Von den $r$ Faktoren sei jeweils eine vorgegebene Menge $\overline{W_1},\dots, \overline{W_r}$ vorhanden. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Lagrangeansatzes notwendige Bedingungen für ein Pareto-Optimum und geben Sie eine ökonomische Interpretation.

Lösen Sie diese Aufgabe selbständig, in dem Sie folgende Schritte durchführen:

0. Vorüberlegung: Änderungen im Vergleich zum 2x2x2-Fall - Laufindices
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1. Optimierungsproblem
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2. Lagrangefunktion
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3. Optimalitätsbedingungen für den Konsumbereich
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4. Optimalitätsbedingungen für den Produktionsbereich
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