Unterstellen Sie eine Ökonomie mit m Konsumenten, deren
Nutzenfunktionen bezüglich von n Gütern $U_i(x_{i1}, x_{i2},\dots
,x_{in})$ gegeben sind. Die Gütermengen $x_j$ werden gemäß der
Produktionsfunktion
$x_j = f_1(w_{j1},w_{j2},\dots,w_{jr})$
hergestellt. Dabei ist $w_{jk}$ die Faktormenge von Faktor $k$,
der bei der Produktion von Gut $j$ eingesetzt wird. Von den $r$
Faktoren sei jeweils eine vorgegebene Menge $\overline{W_1},\dots,
\overline{W_r}$ vorhanden. Bestimmen Sie mit Hilfe eines
Lagrangeansatzes notwendige Bedingungen für ein Pareto-Optimum und
geben Sie eine ökonomische Interpretation.
Lösen Sie diese Aufgabe selbständig, in dem Sie folgende Schritte durchführen:
0. Vorüberlegung: Änderungen im Vergleich zum 2x2x2-Fall - Laufindices
!
1. Optimierungsproblem
!
2. Lagrangefunktion
!
3. Optimalitätsbedingungen für den Konsumbereich
!
4. Optimalitätsbedingungen für den Produktionsbereich