Unterstellen Sie eine Ökonomie mit $m=2$ Konsumenten und
$n=2$ Gütern. Die Nutzenfunktionen $U_1(x_{11}, x_{12})$ und
$U_2(x_{21}, x_{22})$ der Individuen seien gegeben. Die
Gütermengen $x_1$ und $x_2$ werden gemäß der Produktionsfunktion
$$x_1 = f_1(w_{11},w_{12}) \qquad x_2 = f_2(w_{21},w_{22})$$
mit Hilfe von $r=2$ Faktoren hergestellt. Dabei ist $w_{ij}$ die
Faktormenge von Faktor j, der bei der Produktion von Gut i
eingesetzt wird. Von den beiden Faktoren sei jeweils eine
vorgegebene Menge $\overline{W_1}, \overline{W_2}$ vorhanden.
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Lagrangeansatzes notwendige
Bedingungen für ein Pareto-Optimum und geben Sie eine ökonomische
Interpretation.
Lösen Sie diese Aufgabe selbständig, in dem Sie folgende Schritte durchführen:
1. Optimierungsproblem
!
2. Lagrangefunktion
!
3. Optimalitätsbedingungen für den Konsumbereich
!
4. Optimalitätsbedingungen für den Produktionsbereich