Unterstellen Sie eine Ökonomie mit $m=2$ Konsumenten und $n=2$ Gütern. Die Nutzenfunktionen $U_1(x_{11}, x_{12})$ und $U_2(x_{21}, x_{22})$ der Individuen seien gegeben. Die Gütermengen $x_1$ und $x_2$ werden gemäß der Produktionsfunktion $$x_1 = f_1(w_{11},w_{12}) \qquad x_2 = f_2(w_{21},w_{22})$$ mit Hilfe von $r=2$ Faktoren hergestellt. Dabei ist $w_{ij}$ die Faktormenge von Faktor j, der bei der Produktion von Gut i eingesetzt wird. Von den beiden Faktoren sei jeweils eine vorgegebene Menge $\overline{W_1}, \overline{W_2}$ vorhanden. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Lagrangeansatzes notwendige Bedingungen für ein Pareto-Optimum und geben Sie eine ökonomische Interpretation.
Lösen Sie diese Aufgabe selbständig, in dem Sie folgende Schritte durchführen:
1. Optimierungsproblem
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2. Lagrangefunktion
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3. Optimalitätsbedingungen für den Konsumbereich
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4. Optimalitätsbedingungen für den Produktionsbereich
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