Effizienter Faktoreinsatz ist durch die Gleichheit der technischen
Substitutionsraten der beiden Unternehmen gegeben, also:
\begin{eqnarray}
\frac
{ a_{11} x_{11}^{\rho_1 - 1} }
{ a_{12} x_{12}^{\rho_1 - 1}}
=
\frac
{ a_{21} x_{21}^{\rho_2 -1} }
{ a_{22} x_{22}^{\rho_2 -1}}
\end{eqnarray}
Nach Annahme sei $\rho_1=\rho_2=\rho$. Also ergibt sich mit
$\sigma=\frac{1}{\rho-1}$:
\begin{eqnarray}
\frac
{ a_{11}^{\sigma} x_{11} }
{ a_{12}^{\sigma} x_{12}}
=
\frac
{ a_{21}^{\sigma} (X_1 - x_{11}) }
{ a_{22}^{\sigma} (X_2 - x_{12})}
\end{eqnarray}
Das beschreibt die effizienten Faktoreinsätze in der Edgeworthbox. Wir lösen
nach $x_{12}$ auf.
\begin{eqnarray}
\left(
\frac
{ a_{12}a_{21} }
{ a_{11}a_{22} }
\right)^\sigma
\cdot
\frac
{X_1 - x_{11}}
{x_{11}}
=
\frac
{X_2 - x_{12}}
{x_{12}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left(
\frac
{ a_{12}a_{21} }
{ a_{11}a_{22} }
\right)^\sigma
\cdot
\left(
\frac
{X_1 }
{x_{11}}
-1
\right)
=
\frac
{X_2 }
{x_{12}}
-1
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
x_{12}
=
\frac
{x_{11}X_2}
{
\left(
\frac
{ a_{12}a_{21} }
{ a_{11}a_{22} }
\right)^\sigma
\cdot
(X_1-x_{11}) + x_{11}
}
\end{eqnarray}
Dies ist die Kurve der effizienten Faktoreinsätze, also die Kontraktkurve. Sie
läuft durch die Punkte $(0 ; 0)$ und $(X_1 ; X_2)$,
also durch die linke untere und rechte obere Ecke der Edgeworthbox.
!
Sie ist eine Gerade genau dann, wenn der zweite Summand des Nenners Null ist, also wenn
$a_{11}/a_{12}=a_{21}/a_{22} $
Aus den Produktionsfunktionen, den Ressourcenbeschränkungen und der
Kontraktkurve ergibt sich
\begin{eqnarray}
y_1 = \left(a_{11}x_{11}^\rho + a_{12}
\left(
\frac
{x_{11}X_2}
{
\left(
\frac
{ a_{12}a_{21} }
{ a_{11}a_{22} }
\right)^\sigma
\cdot
(X_1-x_{11}) + x_{11}
}
\right)^\rho
\right)^{r/\rho}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
y_2 = \left(a_{11}(X_1-x_{11})^\rho + a_{12}
\left( X_2-
\frac
{x_{11}X_2}
{
\left(
\frac
{ a_{12}a_{21} }
{ a_{11}a_{22} }
\right)^\sigma
\cdot
(X_1-x_{11}) + x_{11}
}
\right)^\rho
\right)^{r/\rho}
\end{eqnarray}
Dies ist die parametrische Darstellung der Transformationskurve.