\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Eine Allokation ist zulässig, wenn von keinem Gut mehr zugeteilt
werden soll, als vorhanden ist, wenn also für zwei Güter und zwei Haushalte
gilt:
$$x_{11} + x_{21} \le w_{11} + w_{21}$$
und
$$x_{12} + x_{22} \le w_{12} + w_{22}$$
bzw. äquivalent mit Vektoren und in Summenschreibweise
geschrieben:
$$\sum_{i=1}^2 \vec{x}_i \le \sum_{i=1}^2 \vec{w}_i$$
Diese Überlegung kann schnell erweitert werden:
Definition: Zulässigkeit einer Güterallokation
Eine Allokation ist zulässig, wenn für alle Haushalte $i$ ($i=1,\dots,n$) gilt:
$$\sum_{i=1}^n \vec{x}_i \le \sum_{i=1}^n \vec{w}_i$$
wobei $\vec{x}_i$ das Konsumgüterbündel und $\vec{w}_i$ die Anfangsausstattung
des Haushalts $i$ ist.
Güterbündel
| | Haushalte | |
| | $\vec{x}_1$ | $\vec{x}_2$ | $\vec{x}_3$ | $\Sigma$ |
| Ä | 5 | 3 | 1 | 9 |
| B | 7 | 8 | 7 | 19 |
| C | 3 | 2 | 7 | 12 |
| D | 4 | 0 | 3 | 7 |
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Wie im letzten Abschnitt die Güter (siehe linke Tabelle), so kann man auch die
Anfangsaustattungen tabellarisch zusammenfassen. In der rechten Tabelle besitzt Haushalt
1 dabei als Anfangsausstattung 4 Äpfel, 8 Birnen, keine Citronen und 8 Datteln.
Die Allokation ist nicht zulässig, da wegen der Anfangsausstattung nur 18 Birnen
vorhanden, 19 aber zugeordnet werden sollen. Hätte einer der Haushalte eine
Birne mehr, so wäre die Allokation zulässig mit einem Überschuss von einer
Citrone und vier Datteln.
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Anfangsausstattung
| | Haushalte | |
| | $\vec{x}_1$ | $\vec{x}_2$ | $\vec{x}_3$ | $\Sigma$ |
| Ä | 4 | 6 | 2 | 9 |
| B | 8 | 3 | 7 | 18 |
| C | 0 | 4 | 9 | 13 |
| D | 8 | 0 | 3 | 11 |
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