Einige formale Aspekte aus dem letzten Aktiven Element sollen hier noch einmal zusammengefasst werden:
Wir wollen untersuchen, wie verschiedene Preise auf die Tauschhandlungen der Individuen wirken.

Dazu gehen wir von folgender Verhaltensannahme aus:
Verhaltensannahme
Die Individuen sehen die Preise als gegeben an und versuchen, bei diesen Preisen ihren Nutzen zu maximieren.


Gibt das Individuum von seiner Ausstattung an Gut 1 (Brot) die Menge $\Delta x_1$ ab, so erhält es dafür beim Preis $p_1$ einen Wert von $p_1 \cdot \Delta x_1$.Für den Erwerb einer zusätzlichen Menge $\Delta x_2$ von Gut 2 (Wein) muss es $p_2 \cdot \Delta x_2$ aufwenden. Für ein ausgeglichenes Budget muss also $$p_1 \cdot \Delta x_1 = - p_2 \cdot \Delta x_2$$ bzw. $$p_1 (w_{11} - x_{11}) = - p_2 (w_{12}- x_{12})$$ gelten. Löst man diese Gleichung nach $x_{12}$ auf, dann erhält man $$x_{12} = - \frac{p_1}{p_2} x_{11} + \frac{p_1}{p_2} w_{11}+ w_{12}.$$
Erweitert man $w_{12}$ mit $\frac{p_2}{p_2}$, so ergibt sich $$x_{12} = - \frac{p_1}{p_2} x_{11} + \frac{p_1 \cdot w_{11} + p_2 \cdot w_{12}}{p_2}.$$ Dies ist die Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt $(w_{11}, w_{12})$ läuft und die Steigung $ - \frac{p_1 }{ p_2}$ besitzt. Der Ausdruck $p_1 \cdot w_{11} + p_2 \cdot w_{12}$ erfasst die Anfangsausstattung des Individuums, bewertet zu den Preisen $p_1$ und $p_2$ . Das ist das Einkommen des Individuums 1, das es aus dem Verkauf seiner Ressourcen erzielen kann.

Wir setzen also $$E_1 = p_1 \cdot w_{11} + p_2 \cdot w_{12} $$ und erhalten $$x_{12}= - \frac{p_1}{p_2} x_{11} + \frac{E_1}{p_2}.$$

Dies entspricht der Gleichung der Budgetgeraden mit dem jedoch sehr wichtigen Unterschied, dass das Einkommen nicht fest vorgegeben ist, sondern von den Marktpreisen abhängt. Bei einer Änderung z.B. des Preises $p_1$ dreht sich die Gleichung um den Drehpunkt $\vec{w}_1$ und nicht um einen Punkt auf der $x_1$-Achse.

In Abbildung~\ref{fig:PreiseUndTausch-II_Normal} erkennt man, dass Individuum 1 sich gegenüber der Anfangsausstattung verbessern kann, indem es gemäß der Preisrate $p_1/p_2$ Gut 2 (Wein) gegen Gut 1 (Brot) eintauscht und so z.B. zu Punkt $\vec{t}_1$ kommt. Punkt $\vec{t}_1$ ist besser für das Individuum, weil er auf einer höheren Indifferenzkurve liegt als $\vec{w}_1$. Das Individuum kann weiterhin Gut 2 (Wein) gegen Gut 1 (Brot) eintauschen und zu dem noch besseren Zustand $\vec{x}_1$ gelangen. Setzt es aber von $\vec{x}_1$ aus den Tausch von Gut 2 (Wein) gegen Gut 1 (Brot) fort, so verschlechtert es sich. $\vec{x}_1$ ist offensichtlich eine durch Tausch zu den Preisen $p_1$ und $p_2$ erreichbare Güterkombination, weil der Punkt auf der Budgetgeraden liegt, die durch $\vec{w}_1$ -- den Punkt der Anfangsaustattung -- läuft. Außerdem ist $\vec{x}_1$ von allen erreichbaren Kombinationen die vom Individuum am höchsten eingeschätzte, weil $\vec{x}_1$ von allen Punkten der Budgetgeraden derjenige ist, der auf der höchsten Indifferenzkurve liegt. Für das Individuum bzw. seinen Haushalt ist $\vec{x}_1$ ein Optimum; wir nennen $\vec{x}_1$ daher Haushaltsoptimum. Allgemein gilt:
Ein Güterbündel $x^I$ heißt Haushaltsoptimum des Individuums I zur Anfangsausstattung $\vec{w}^I$ und den Preisen $p_1$ und $p_2$, wenn
Aus Abbildung ergibt sich sofort, dass im Haushaltsoptimum die Budgetgerade die gleiche Steigung wie die Indifferenzkurve hat. Die Steigung der Indifferenzkurve ist die Grenzrate der Substitution $\frac{dx_2}{dx_1}$, die Steigung der Budgetgerade ist $ - p_1/p_2$. Im Haushaltsoptimum entspricht der Absolutwert der Grenzrate der Substitution also dem Preisverhältnis.
Im Haushaltsoptimum gilt: $$\frac{dx_2}{dx_1} = - \frac{p_1}{p_2}$$