Lösung

a. $\vec x^T{\rm\bf A}\vec x =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3x_1 + 4x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 \end{pmatrix} =3x_1x_1 + 4x_2x_1 + 2x_1x_2 + 5x_2x_2 =3x_1^2 + 6x_2x_1 + 5x_2^2 $ $\vec x^T{\rm\bf B}\vec x =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3x_1 + 0x_2 \\ 6x_1 + 5x_2 \end{pmatrix} =3x_1x_1 + 0x_2x_1 + 6x_1x_2 + 5x_2x_2 =3x_1^2 + 6x_2x_1 + 5x_2^2 $ $\vec x^T{\rm\bf C}\vec x =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 6 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3x_1 + 6x_2 \\ 0x_1 + 5x_2 \end{pmatrix} =3x_1x_1 + 6x_2x_1 + 0x_1x_2 + 5x_2x_2 =3x_1^2 + 6x_2x_1 + 5x_2^2 $ Es fällt auf, daß

1. [$\alpha$] unterschiedliche Matrizen zu identischen quadratischen Formen führen können
2. [$\beta$] daß das offensichtlich dann der Fall ist, wenn die Elemente spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen jeweils sich zur gleichen Summe addieren (also $a_{12}+a_{21}=b_{12}+b_{21}=c_{12}+c_{21}$.

b. Siehe Teil a.
c. Es wurde oben gezeigt, dass gilt \begin{eqnarray*}q_\mathbf{A}(\vec{x}) %&=& \begin{pmatrix}x_1& \ldots &x_n\end{pmatrix} %\begin{pmatrix}a_{11}& & a_{1n}\\ &\ddots &\\a_{n1} &&a_{nn}\end{pmatrix} %\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ %&=& \begin{pmatrix}x_1& \ldots &x_n\end{pmatrix} %\begin{pmatrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \\ \vdots\\ %a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n \end{pmatrix}\\ % &=& a_{11}x_1x_1 + a_{12}x_1x_2 + \ldots + a_{1n}x_1x_n +\\ &+& a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2x_2 + \ldots + a_{2n}x_2x_n +\\ %&+ &\dots \\ &\vdots & \\ %&+&\dots \\ &+&a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \ldots + a_{nn}x_nx_n \\ %&=&\sum\limits_{i=1}^n \ \sum\limits_{j=1}^n \ a_{ij} x_i x_j \end{eqnarray*} Da $x_ix_j=x_jx_i$ kann das umgeformt werden zu: $\begin{matrix} \quad q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& a_{11}x_1x_1& + & (a_{12}+a_{21})x_1x_2 &+& (a_{13}+a_{31})x_1x_3 & + & \ldots + & (a_{1n}+a_{n1})x_1x_n \\ & & & + & a_{22}x_2x_2 &+& (a_{23}+a_{32})x_2x_3 & + & \ldots + & (a_{2n}+a_{n2})x_2x_n \\ & & & & &+& a_{33}x_3x_3 & + & \ldots + & (a_{3n}+a_{n3})x_3x_n \\ &\vdots & &\\ & & & & & & & & \quad + & a_{nn}x_nx_n \\ \end{matrix}$ $=\sum\limits_{i=1}^n \ \sum\limits_{j=1}^n \ (a_{ij}+a_{ji}) x_i x_j + \sum\limits_{i=1}^n \ (a_{ii}) x_i x_i$ Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die Koeffizienten von $x_ix_j$ für $j>i$ in der quadratische Form durch die Summe $a_{ij}+a_{ji}$ gegeben sind.
d. Sei {\rm\bf A} die Matrix, die die quadratische Form generiert. Dann ist $\frac{1}{2} \left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^T\right)$ eine symmetrische Matrix, die wegen c. die selbe quadratische Form generiert.