\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Quadratische Formen mit einer Variablen
Quadratische Formen können auch als Funktionen mit nur einer
Variablen auftreten. In diesem Fall ist $\vec{x}$ ein Vektor mit
einer Komponente, also $\vec{x} = (x_1)$ und $\rm \bf A$ eine
(1,1)-Matrix, also $\mathbf{A} =(a_{11})$. Eine quadratische Form
mit einer Variablen sieht dann wie folgt aus:
\begin{equation*}
\vec{x}^T \cdot\mathbf{A}\cdot \vec{x} = x_1\cdot a_{11}\cdot x_1
= a_{11}\cdot x_1^2.\end{equation*}
Bei $a_{11} > 0$ ist der Wertebereich der quadratischen Form für
$x_1 \ne 0$ durchgängig positiv.
Die quadratische Form
$q_\mathbf{A}(x_1)$ heißt dann positiv definit.
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Bei $a_{11} < 0$ ist der Wertebereich der quadratischen Form für
$x_1 \ne 0$ durchgängig negativ.
Die quadratische Form
$q_\mathbf{A}(x_1)$ heißt dann negativ definit.
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Quadratische Formen mit zwei Variablen
Nun werden quadratische Formen mit zwei Variablen betrachtet.
Beispiel
\begin{equation*}
%
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 & 0 \cr 0
&1\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0
\cr 0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\cr
x_2\end{pmatrix}\\
&=& x_1^2 + x_2^2.
\end{eqnarray*}
Hinweis: Dieser Ausdruck ist für beliebiges $\vec{x} \ne
\vec{0}$ stets
positiv.
Beispiel
\begin{equation*}
%
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \cr 0
&-1\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1 & 0
\cr 0 &-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}- x_1 &- x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\cr
x_2\end{pmatrix}\\
&=& -x_1^2 - x_2^2.
\end{eqnarray*}
Hinweis: Dieser Ausdruck ist für beliebiges $\vec{x} \ne
\vec{0}$ stets
negativ.
Beispiel [Hauptdiagonalmatrix]
\begin{equation*}
%
\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}a_{11} & 0\cr 0
&a_{22}\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2\end{pmatrix} \
\begin{pmatrix}a_{11}
& 0\cr 0 &a_{22}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix}\\
&=& a_{11} x_1^2 + a_{22} x_2^2.
\end{eqnarray*}
Dieser Ausdruck ist für $\vec{x} \ne \vec{0}$:
- immer positiv, wenn $a_{11} > 0 $ und $a_{22} > 0 $, $\mathbf{A}$ heißt
positiv definit.
- nicht-negativ, wenn $a_{11} \geq 0$ und $a_{22} \geq 0$; $\mathbf{A}$ heißt
positiv semi-definit.
- immer negativ, wenn $a_{11} < 0 $ und $a_{22} < 0 $; $\mathbf{A}$ heißt negativ
definit.
- nicht-positiv, wenn $a_{11} \leq 0$ und
$a_{22} \leq 0$; $\mathbf{A}$ ist negativ semi-definit.
Beispiel
\begin{equation*}
%
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 &1\cr 1
&1\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2 &1\cr
1 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2x_1 +
x_2\cr 1x_1 + x_2\end{pmatrix}\\
&=& 2x_1^2 + x_1x_2 + x_1x_2 + x_2^2\\
&=& 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2.
\end{eqnarray*}
Beispiel
\begin{equation*}
\mathbf{A} =\begin{pmatrix}1 &1 & 0\cr
0 &1 &0 \cr 0&0&1\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2
&x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &1 & 0\cr 0 &1 &0 \cr
0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\cr
x_2\cr x_3\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}x_1 &x_2 &x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 +
x_2\cr x_2\cr x_3\end{pmatrix}\\
&=& x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2.
\end{eqnarray*}
Es ist hier nicht ohne Weiteres festzustellen, welches Vorzeichen
der Ausdruck hat.
Bevor das Vorzeichen weiter erörtert wird, muss erst eine
quadratische Form $n-$ten Grades eingeführt werden:
Allgemein ergibt sich eine quadratische Form $n$-ten Grades in ausgeschriebener Weise als:
\begin{eqnarray*}q_\mathbf{A}(\vec{x}) &=& \begin{pmatrix}x_1& \ldots &x_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_{11}& & a_{1n}\\ &\ddots &\\a_{n1} &&a_{nn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}x_1& \ldots &x_n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \\
\vdots\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n \end{pmatrix}\\
&=& a_{11}x_1x_1 + a_{12}x_1x_2 + \ldots + a_{1n}x_1x_n +\\
&+& a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2x_2 + \ldots + a_{2n}x_2x_n +\\
&+ &\dots \\
&\vdots & \\
&+&\dots \\
&+&a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \ldots + a_{nn}x_nx_n \\
&=&\sum\limits_{i=1}^n \ \sum\limits_{j=1}^n \ a_{ij} x_i x_j.
\end{eqnarray*}