Quadratische Form

$ \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} $
Es sei \begin{equation*} \vec{x}^T\cdot \mathbf{A}\cdot \vec{x} \end{equation*} eine quadratische Form mit $n$ Nebenbedingungen. $\mathbf{B}$ sei eine $(m, n)$-Matrix. Wir betrachten die geränderte Matrix: \begin{equation*} \overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} &\mathbf{B} \\ \underbrace{\:\mathbf{B^T}\:}_{\hbox{$m$ Spalten}} &\underbrace{\;\mathbf{A}\;}_{\hbox{$n$ Spalten}} \end{pmatrix}\begin{matrix} & \left. \right\} \hbox{$m$ Zeilen}\\ & \left. \right\} \hbox{$n$ Zeilen}\\ &\end{matrix} \end{equation*} Dann gilt:

Satz
Die quadratische Form $\vec{x}^T \mathbf{A}\vec{x}$ ist unter den $m$ homogenen Nebenbedingungen $\mathbf{B}\vec{x} = 0$:

positiv definit, wenn alle Hauptminoren der Ordnung größer $2m$ das Vorzeichen $(-1)^m$ haben.
negativ definit, wenn alle Hauptminoren der Ordnung größer $2m$ das alternierende Vorzeichen haben, wobei der letzte Hauptminor der geränderten Matrix $|\mathbf{\overline{A}_{m+n}}|$ das Vorzeichen $(-1)^n$ hat.
positiv semi-definit bzw. negativ semi-definit, wenn einzelne Vorzeichen in den obigen Aussagen null sind.

In allen anderen Fällen heißen die quadratischen Formen der symetrischen Matrix A indefinit.

(Vgl. ohse,"Elementare Algebra ,S. 295)
Untersuchen Sie die quadratische Form $\vec{x}^T\mathbf{A}\vec{x}$ unter der Bedingung $\mathbf{B}\vec{x}=0$ auf Definitheit. \begin{equation*} \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 &1 &2\cr 1 &2 &-1\cr 2 &-1 &1\end{pmatrix} \qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}2 &1 &1\cr 1 &-1 &0\end{pmatrix} \end{equation*} Die geränderte Matrix ist \begin{equation*} \overline{\mathbf{A}} =\begin{pmatrix}\mathbf{0} &\mathbf{B}\cr \mathbf{B^T} &\mathbf{A}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 &0 &2 &1 &1\cr 0 &0 &1 &-1 &0\cr 2 &1 &1 &1 &2\cr 1 &-1 &1 &2 &-1\cr 1 &0 &2 &-1 &\vec{1}\end{pmatrix} \end{equation*}

Die Anzahl der Variablen (bzw. Anzahl der Zeilen/Spalten von $\mathbf{A}$) ist $n=3$. Die Anzahl der Nebenbedingungen (bzw. Anzahl Zeilen von $\mathbf{B}$) ist $m=2$. Nach obigem Satz sind für die Bestimmung der Definitheit die Hauptminoren der Ordnung größer $2m$, also in diesem Fall nur der Hauptminor $|\mathbf{\overline{A}_5}| = |\overline{\mathbf{A}}|$ zu untersuchen.
Es ergibt sich durch Addition des Vielfachen der letzten Zeile: \begin{equation*} |\overline{\mathbf{A}}| = \begin{vmatrix}-1 &0 &0 &2 &0\cr 0 &0 &1 &-1 &0\cr 0 &1 &-3 &3 &0\cr 2 &-1 &3 &1 &0\cr 1 &0 &2 &-1 &1\end{vmatrix} \end{equation*} Durch Addition des Vielfachen der 4 Zeilen zu den Zeilen 1 bis 3 erhält man: \begin{equation*} |\overline{\mathbf{A}}| = \begin{vmatrix}-5 &2 &-6 &0 &0\cr 2 &-1 &4 &0 &0\cr -6 &4 &-12 &0 &0\cr 2 &-1 &3 &1 &0\cr 1 &0 &2 &-1 &1\end{vmatrix} \end{equation*} Die Addition des Vielfachen von Zeile 3 zu den Zeile 1 und 2 liefert: \begin{equation*} |\overline{\mathbf{A}}| = \begin{vmatrix}-2 &0 &0 &0 &0\cr 0 &{1\over 3} &0 &0 &0\cr -6 &4 &-12 &0 &0\cr 2 &-1 &3 &1 &0\cr 1 &0 &2 &-1 &1\end{vmatrix} \end{equation*} Da diese Determinante Dreiecksform besitzt, ergibt sich der Wert als Produkt der Hauptdiagonalelemente, also: \begin{equation*} |\overline{\mathbf{A}}| = (-2)\cdot {1\over 3} \cdot (-12) \cdot 1\cdot 1 = 8 > 0 \end{equation*} Damit ist die quadratische Form positiv definit.