\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \) Es stellt sich die Frage, ob es (vergleichsweise) einfache Kriterien gibt, um festzustellen, ob eine Matrix negativ (semi-)definit ist?

Um diese Frage zu beantworten, wird nachfolgend für $(2, 2)$-Matrizen die quadratische Form für unterschiedliche $\vec{x}$ berechnet.

Erste Überlegung:
Sei $\vec{x}= \begin{pmatrix}1 \cr 0\end{pmatrix}$. Für die quadratische Form ergibt sich: \begin{equation*} % \begin{pmatrix}1 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\cr 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}\cr a_{21}\end{pmatrix} = a_{11}. \end{equation*}

Zweite Überlegung:
Sei $\vec{x}= \begin{pmatrix}0 \cr 1\end{pmatrix}$. Für die quadratische Form ergibt sich: \begin{equation*} % \begin{pmatrix}0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\cr 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{12}\cr a_{22}\end{pmatrix} = a_{22}. \end{equation*}

Gemäß Definition ist die Matrix $\mathbf{A}$ negativ (semi-)definit, wenn die quadratische Form $\vec{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \vec{x}$ für beliebige $\vec{x}$ einen negativen (bzw. nicht-positiven) Wert annimmt. Somit ergibt sich zwingend, dass dazu mindestens gelten muss:

Dritte Überlegung:
Sei $\vec{x}= \begin{pmatrix}- a_{12}\cr a_{11}\end{pmatrix}$.

Dann ergibt sich die quadratische Form: \begin{equation*} \begin{pmatrix}- a_{12} &a_{11}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}- a_{12}\cr a_{11}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a_{12} &a_{11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-a_{11}a_{12} + a_{12}a_{11}\cr - a_{21}a_{12} + a_{11}a_{22}\end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} = - a_{12} \cdot 0 + a_{11} (a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}). \end{equation*} Falls $\mathbf{A}$ negativ definit ist, muss gelten: \begin{equation*} - a_{12} \cdot 0 + a_{11} (a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}) \ < \ 0. \end{equation*} Da gemäß der ersten Überlegung $a_{11} < 0$, muss also gelten: \begin{equation*} a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} > 0 \end{equation*} bzw. \begin{equation*} % \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{vmatrix} > 0. \end{equation*} Somit ergeben sich als notwendige Bedingungen dafür, dass $\mathbf{A}$ negativ definit ist: \begin{equation*} a_{11} < 0 \quad \hbox{ und } \quad \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{vmatrix} > 0. \end{equation*}

Durch die Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise (dazu vgl.\cite[S 97 f.]{BeckmannBandZwei:1973}) kann gezeigt werden:

Satz [Bestimmung der Definitheit aus den Hauptminoren]

Sei $\mathbf{A}$ eine symmetrische $(n,n)$-Matrix mit den Hauptminoren $|\mathbf{A_k}|$: \begin{equation*} |\mathbf{A_1}| = a_{11}, \ |\mathbf{A_2}| = \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{vmatrix} , %\ |\mathbf{A_3}| = \begin{vmatrix}a_{11} %&a_{12} &a_{13}\cr a_{21} &a_{22} &a_{23}\cr a_{31} &a_{32} %&a_{33}\end{vmatrix} , \dots, \ |\mathbf{A_k}|= \begin{vmatrix}a_{11} &\ldots &a_{1k}\cr \vdots &&\vdots\cr a_{k1} &\ldots &a_{kk}\end{vmatrix} \end{equation*} $\mathbf{A}$ ist dann negativ definit, wenn die Hauptminoren abwechselnd negative und positive Vorzeichen annehmen (mit negativem Vorzeichen beginnend).

$\mathbf{A}$ ist genau dann negativ semi-definit, wenn die Folge der Hauptminoren abwechselnd nicht-positive und nicht-negative Vorzeichen besitzen (mit nicht-positiv beginnend) und mindestens ein Hauptminor gleich null ist.

$\mathbf{A}$ ist genau dann positiv definit, wenn die Hauptminoren alle positive Vorzeichen besitzen.

Eine Matrix ist positiv semi-definit, wenn ihre Hauptminoren alle nicht-negative Vorzeichen besitzen und mindestens ein Hauptminor gleich null ist.

Sonst ist $\mathbf{A}$ indefinit.