Satz [Bestimmung der Definitheit aus den Eigenwerten]
Es sei $\mathbf{A}$ eine reelle symmetrische $n,n$-Matrix.
$\mathbf{A}$ ist genau dann
positiv bzw.
negativ
definit, wenn alle Eigenwerte von $\mathbf{A}$ positiv bzw.
negativ sind.
$\mathbf{A}$ ist genau dann
positiv bzw. {
negativ
semi-definit, wenn alle Eigenwerte von $\mathbf{A}$ größer
gleich bzw. kleiner gleich null sind.
(Vgl.
beckmannIII:1984 Spezielle Matrizen, S. 96)
Beispiel
Die Matrix $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}8 &4\cr 4
&2\end{pmatrix}$ mit der quadratischen Form
\begin{equation*}
q_\mathbf{A}(\vec{x}) = 8x_1^2 + 8x_1x_2 + 2x_2^2
\end{equation*}
hat die Eigenwerte $\lambda_1 =10$ und $\lambda_2 = 0$.
Nach dem obigen Satz ist $\mathbf{A}$
somit positiv semi-definit.
Dies kann auch wie in Blatt
Definitheitskriterien
beschrieben, durch Bestimmung der Hauptminoren überprüft werden.
Der erste Hauptminor ist:
\begin{equation*}
a_{11}=8.
\end{equation*}
Als zweiter Hauptminor ergibt sich:
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}8 & 4 \cr 4
&2\end{vmatrix} = 8 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = 0.
\end{equation*} Da beide
Hauptminoren nicht-negativ sind und der zweite Hauptminor zugleich
null ist, ist die Matrix $\mathbf{A}$ positiv semi-definit.