Definition [Definitheit von symetrischen Matrizen]
Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt
negativ definit, wenn für beliebiges $\vec{x} \ne
\vec{0}$ gilt:
\begin{equation*}
\vec{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \vec{x} < 0
\end{equation*}
Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt
negativ semi-definit, wenn
für beliebiges $\vec{x}$ gilt:
\begin{equation*}
\vec{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \vec{x} \le 0
\end{equation*}
Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt
positiv (semi-)definit,
wenn $-\mathbf{A}$ negativ (semi-)definit ist.
Eine Matrix heißt
indefinit, wenn die quadratische Form
für einige $\vec{x}$ positiv und für andere negativ ist.
Satz [Bestimmung der Definitheit aus den Hauptminoren]
Sei $\mathbf{A}$ eine symmetrische $(n,n)$-Matrix mit den
Hauptminoren $|\mathbf{A_k}|$:
\begin{equation*}
|\mathbf{A_1}| = a_{11}, \ |\mathbf{A_2}| = \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21}
&a_{22}\end{vmatrix} ,
%\ |\mathbf{A_3}| = \begin{vmatrix}a_{11}
%&a_{12} &a_{13}\cr a_{21} &a_{22} &a_{23}\cr a_{31} &a_{32}
%&a_{33}\end{vmatrix} ,
\dots, \ |\mathbf{A_k}|=
\begin{vmatrix}a_{11} &\ldots &a_{1k}\cr \vdots &&\vdots\cr
a_{k1} &\ldots &a_{kk}\end{vmatrix}
\end{equation*}
$\mathbf{A}$ ist dann
negativ definit, wenn die
Hauptminoren abwechselnd negative und positive Vorzeichen annehmen
(mit negativem Vorzeichen beginnend).
$\mathbf{A}$ ist genau dann
negativ semi-definit, wenn
die Folge der Hauptminoren abwechselnd nicht-positive und
nicht-negative Vorzeichen besitzen (mit nicht-positiv beginnend)
und mindestens ein Hauptminor gleich null ist.
$\mathbf{A}$ ist genau dann
positiv definit, wenn die
Hauptminoren alle positive Vorzeichen besitzen.
Eine Matrix ist
positiv semi-definit, wenn ihre
Hauptminoren alle nicht-negative Vorzeichen besitzen und
mindestens ein Hauptminor gleich null ist.
Sonst ist $\mathbf{A}$
indefinit.
(Vgl.
ohse,"Elementare Algebra , S. 289)