\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Definition [Definitheit von symetrischen Matrizen]

Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt negativ definit, wenn für beliebiges $\vec{x} \ne \vec{0}$ gilt: \begin{equation*} \vec{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \vec{x} < 0 \end{equation*}

Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt negativ semi-definit, wenn für beliebiges $\vec{x}$ gilt: \begin{equation*} \vec{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \vec{x} \le 0 \end{equation*}

Eine Matrix $\mathbf{A}$ heißt positiv (semi-)definit, wenn $-\mathbf{A}$ negativ (semi-)definit ist. Eine Matrix heißt indefinit, wenn die quadratische Form für einige $\vec{x}$ positiv und für andere negativ ist.
Satz [Bestimmung der Definitheit aus den Hauptminoren]

Sei $\mathbf{A}$ eine symmetrische $(n,n)$-Matrix mit den Hauptminoren $|\mathbf{A_k}|$: \begin{equation*} |\mathbf{A_1}| = a_{11}, \ |\mathbf{A_2}| = \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{vmatrix} , %\ |\mathbf{A_3}| = \begin{vmatrix}a_{11} %&a_{12} &a_{13}\cr a_{21} &a_{22} &a_{23}\cr a_{31} &a_{32} %&a_{33}\end{vmatrix} , \dots, \ |\mathbf{A_k}|= \begin{vmatrix}a_{11} &\ldots &a_{1k}\cr \vdots &&\vdots\cr a_{k1} &\ldots &a_{kk}\end{vmatrix} \end{equation*} $\mathbf{A}$ ist dann negativ definit, wenn die Hauptminoren abwechselnd negative und positive Vorzeichen annehmen (mit negativem Vorzeichen beginnend).

$\mathbf{A}$ ist genau dann negativ semi-definit, wenn die Folge der Hauptminoren abwechselnd nicht-positive und nicht-negative Vorzeichen besitzen (mit nicht-positiv beginnend) und mindestens ein Hauptminor gleich null ist.

$\mathbf{A}$ ist genau dann positiv definit, wenn die Hauptminoren alle positive Vorzeichen besitzen.

Eine Matrix ist positiv semi-definit, wenn ihre Hauptminoren alle nicht-negative Vorzeichen besitzen und mindestens ein Hauptminor gleich null ist.

Sonst ist $\mathbf{A}$ indefinit.

(Vgl. ohse,"Elementare Algebra , S. 289)