\(\def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Definition [Eigenwert und Eigenwertvektor]
Gibt es eine Zahl $\lambda \in
\mathbb{R}$ und einen Vektor $\vec{x} \in \mathbb{R}^n, \vec{x}
\neq \vec{0}$, so dass:
\[{\rm \bf A} \cdot \vec{x} = \lambda \vec{x}
\qquad \hbox{oder} \qquad ({\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I})
\cdot \vec{x} = \vec{0}
\]
gilt, dann heißt $\lambda$ Eigenwert der Matrix ${\rm \bf
A}$ und $\vec{x}$ Eigenvektor (zum Eigenwert $\lambda$)
von ${\rm \bf A}$.
Besteht in $\vec{x}$ ein zu $\lambda$ gehöriger Eigenvektor, dann
ist auch jedes Skalarprodukt $\alpha \cdot \vec{x}$ mit $\alpha
\neq 0$ ein zu $\lambda$ gehöriger Eigenvektor. Eine triviale
Lösung des Gleichungssystems $({\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I})
\cdot \vec{x} = \vec{0}$ ist $\vec{x} = \vec{0}$. Eine
nicht-triviale Lösung hat das Gleichungssystem dann und nur dann,
wenn seine Determinante gleich Null ist, also gilt:
\[|{\rm \bf A} -
\lambda {\rm \bf I}| = 0\]
\[\begin{vmatrix}a_{11} - \lambda &a_{12} & \cdots &&a_{1n}\cr a_{21}
&a_{22}-\lambda & \cdots &&\cr \vdots &\vdots & & & \vdots \cr
a_{n1} &a_{n2} &\cdots&&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix} = 0.\]
Daraus ergibt sich nach der Definition der Determinante ein
Polynom $n$-ten Grades in $\lambda$, und zwar:
\begin{equation*}
(-1)^n\lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + c_1\lambda + c_0.
\end{equation*}
Definition [Charakteristisches Polynom]
Die Gleichung $n$-ten Grades
\begin{equation*}
(-1)^n\lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + c_1\lambda + c_0 = 0
\end{equation*}
die sich aus der Beziehung
\begin{equation*}
|{\rm \bf A} -
\lambda {\rm \bf I}| = 0
\end{equation*}
mit
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}a_{11}
- \lambda &a_{12} & \cdots &&a_{1n}\cr a_{21} &a_{22}-\lambda &
\cdots &&\cr \vdots &\vdots & & & \vdots \cr a_{n1} &a_{n2}
&\cdots&&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix} = 0
\end{equation*}
ergibt, heißt charakteristisches Polynom von ${\rm \bf
A}$. Ihre Nullstellen heißen charakteristische Wurzeln
des charakteristischen Polynoms. Diese charakteristischen Wurzeln
sind die Eigenwerte von ${\rm \bf A}$.