Zu einer $(n,n)$-Matrix gibt es $n$ Eigenwerte, die nicht
verschieden sein müssen.
Die Matrix $\rm \bf A$ hat genau dann den Eigenwert 0, wenn
für die Determinante $|\rm \bf A|$ = 0 gilt.
Die Matrix $\rm \bf A$ und die Transponierte $\rm \bf A^T$ besitzen die gleichen Eigenwerte.
Ist die Matrix $\rm \bf B$ ähnlich zur Matrix $\rm \bf A$ so besitzen sie die gleichen Eigenwerte.
Sind $\rm \bf A$ und $\rm \bf B$ $(n,n)$-Matrizen, so besitzen $\rm \bf AB$ und $\rm \bf BA$ die
gleichen Eigenwerte.
Sei $\lambda$ Eigenwert von $\rm \bf A$,
dann ist $\alpha \lambda$ der Eigenwert von $\alpha \bf A$.
Die Multiplikation einer Matrix wird somit analog auf den
Eigenwert übertragen.
Sei die Matrix $\rm \bf A$ regulär und $\lambda$ Eigenwert von $\rm \bf A$. Dann ist ${1\over
\lambda}$ Eigenwert von $\rm \bf A^{-1}$.
Mit $\lambda$ als Eigenwert von $\rm \bf A$ ist $\lambda^k$ Eigenwert von $\rm \bf
A^k$. Die Potenzierung der Matrix erfolgt somit analog für die
zugehörigen Eigenwerte.
Die Determinante einer $(n,n)$-Matrix entspricht der Produkt der Eigenwerte. Somit gilt $|\rm \bf A| =
{\prod\limits_{i=1}^n}\lambda_i\quad\hbox{mit}\quad\lambda_i\quad
\hbox{Eigenwert von} \quad {\rm \bf A}.$
Die Summe der Eigenwerte $\lambda_i$ einer quadratischen Matrix $\rm \bf A$ ist immer gleich der Summe der Diagonalelemente (der so
genannten Spur von $\rm \bf A$ bzw. $Sp(\rm \bf A)$):
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
Sp(\rm \bf A) = {\sum\limits^n_{i=1}} \lambda_i.
\end{equation*}