Wir gehen von einer mit Gras bewachsenen Insel aus, auf der zwei Populationen leben, die Diese Modelle können durch einfache nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben werden. Sie wurden zu diesem Zweck unabhängig voneinander von Lotka und Volterra eingeführt.
Wir nehmen an, dass die betrachtete Populationen so gross sind, das wir Ganzzahligkeit vernachlässigen können. Die betrachteten Funktionen seien kontinuierliche Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit: $$\dot x = x\cdot (a_x + a_{xx}x + a_{xy}y) =a_x x + a_{xx}x^2 + a_{xy}xy \quad (*)$$ $$\dot y = y\cdot(b_y + b_{xy}x + b_{yy}y) = b_y y + b_{xy}xy + b_{yy}y^2 \quad (**)$$ wobei $a_x$, $b_y$, $a_{xx}$,$a_{xy}$, $b_{xy}$ und $b_{yy}$ Konstanten sind.

In diesen Gleichungen werden die Wachstumsraten $\dot x/x$ und $\dot y/y$ in folgender Weise in Abhängigkeit von den Populationsgrößen $x$ und $y$ dargestellt:

Wir betrachten zuerst die $\dot x$ Gleichung. Unterstellen wir $y=0$ so ergibt sich $\dot x =a_1 x + a_{xx}x^2 $. Für kleines x kann der Wert $x^2$ vernachlässigt werden, es gilt also $\dot x =a_x x $. Das beschreibt die normale Wachstumsfunktion für $a_x>0$ bzw. Schrumpfungsfunktion für $a_x<0$. Zu einem Wachstum kommt es, wenn die (kleine) Population sich von Gras ernährt, das reichlich auf der Insel vorhanden ist. Ernährt sich x hingegen als Räuber von der Population y und ist $y=0$ so kommt es zum allmählichen Aussterben. Der Koeffizient $a_{xx}$ beschreibt den Zusammenhang der Species mit sich selbst. Da die Insel endlich ist, führt starkes Wachstum zu Überbevölkerung und somit zu einer Wachstumsbeschränkung, $a_{xx}$ ist somit negativ.

Die Koeffizienten $a_{xy}$, $b_{xy}$ beschreiben schließlich die gegenseitigen Effekte, die die Spezies y auf x und Spezies x auf y ausüben.

Bei positivem $a_{xy}$ führt der Term $a_{xy}xy$ zu einer Vergrößerung der Wachstumsrate von x, die um so größer ist, je größer $y$; das ist zum Beispiel der Fall, wenn sich x (= Wölfe) von y (=Kaninchen) ernährt. Ein negatives $a_{xy}$ hingegen verringert den Anstieg von x, beispielsweise, weil die andere Population raubt (viele Wölfe sind des Hasen Tod) oder wenn beide Populationen um die gleiche Ressource konkurrieren.

Leben die beiden Populationen in Symbiose, so profitieren sie gegenseitig. Es ist dann $a_{xy}>0$ und $b_{xy}>0$.

Also haben wir die folgenden drei Modelle:
  1. Räuber-Beute (predator-prey case)
    1. $x$ ist Räuber $ a_x < 0$, $ b_x > 0$, $ a_{xy} > 0$, $ b_{xy} < 0$.
    2. $y$ ist Räuber $ a_x > 0$, $ b_x < 0$, $ a_{xy} < 0$, $ b_{xy} > 0$.
  2. Konkurrenz (competitive case) $ a_x > 0$, $ b_x > 0$, $ a_{xy} < 0$, $ b_{xy} < 0$.
  3. Symbiose (symbiotic case) $ a_x > 0$, $ b_x > 0$, $ a_{xy} > 0$, $ b_{xy} > 0$.
siehe hierzu auch Mathematik für Biologie, wihler:2009, S.57ff