Aus der Formel (*) folgt für
$$z= r(\cos \phi + i \sin \phi)$$
$$\begin{matrix} z^2 &= &z\cdot z &= r\cdot r[\cos 2 \phi + i \sin 2 \phi] \cr
z^n &= &r^n &[\cos n\cdot \phi + i \sin n \phi] \cr\end{matrix}$$
Für $r=1$ ergibt sich
$$(\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi$$
Formel von de Moivre
Der Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene besteht aus allen
Zahlen mit einem Abstand von $r=1$ zum Nullpunkt
d. h. aus allen Zahlen der Form
$$z=\cos \phi + i \sin \phi$$
Multiplikation zweier Zahlen auf dem Einheitskreis ergibt wieder eine
Zahl auf dem Einheitskreis.
Für eine beliebige Zahl
$\begin{matrix}z &= &x + iy \cr &= &r(\cos \phi + i \sin \phi)\cr\end{matrix}$
ergibt sich entsprechend
$$\root n\of{z} = \root n \of {r} \left(\cos \left({\phi\over n} + k {2
\pi\over n}\right) + i \sin \left({\phi \over n} + k {2\pi \over
n}\right)\right)$$