Im Bereich der reellen Zahlen sind die Addition und
die Multiplikation und ihre Umkehrfunktionen zwischen beliebigen Elementen immer möglich.
Da aber $a^2>0$ für beliebiges $a\in \mathbb {R}$ gilt, ist z.b. die Gleichung
$x^2+1=0$ nicht lösbar, es existiert kein $x$ mit $x= \sqrt{-1}$
bzw. allgemein: Es existiert kein x mit $$x=\sqrt{-a}\qquad \mbox{ mit } a>0$$
Mit Hilfe der Potenzregel kann geschrieben werden
$$\sqrt{-a} \ = \ \sqrt{a} \sqrt{-1}$$
Man definiert die Zahl
$$i\buildrel \rm def \over = \sqrt{- 1}$$
Dann kann formal jede negative Wurzel gezogen werden
$$\sqrt{-k} \ = \ i \cdot \sqrt{k}$$
$i$ heißt imaginäre Einheit.
Definition
Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form
$$z = a + b\cdot i \qquad \mbox{ mit } a, b \in \mathbb{R}$$
$a$ heißt Realteil und $b$ Imaginärteil der komplexen Zahl $z$.
Komplexe Zahlen wurden insbesondere bei der Bestimmung von Nullstellen der Polynome untersucht.