Exponentialfunktion
Eine Potenzreihe in der komplexen Variablen $z$ ist von der Form
$$f(z) = a_0 + a_1 (z-z_0)^1 + a_2 (z-z_0)^2+ a_3 (z-z_0)^3 + \dots = \sum_{j=0}^\infty a_j (z-z_0)^j$$
Die komplexe Konstante $z_0$ heißt Mittelpunkt der Potenzreihe.
Eine Potenzreihe existiert bei z, wenn für dieses z die Summe existiert.
Fast alle für uns interessanten Funktionen können als konvergente Potenzreihen dargestellt werden.
Wir werden im folgenden von $z_0=0$ ausgehen, also Potenzreihen um $0$ betrachten:
$$f(z) = a_0 + a_1 (z)^1 + a_2 (z)^2+ a_3 (z)^3 + \dots = \sum_{j=0}^\infty a_j (z)^j$$
Die Exponentialfunktion $exp(z)$ im Komplexen wird durch die beiden fundamentalen Eigenschaften:
$$ exp(0)= 1 \qquad (F1)$$
und
$$ exp'(z)= exp(z) \qquad (F2)$$
definiert.
Wir versuchen die Potenzreihenentwicklung:
$$exp(z) = a_0 + a_1 (z)^1 + a_2 (z)^2+ a_3 (z)^3 + \dots $$
1. Wegen der geforderten Eigenschaft (F1) ergibt sich:
$$exp(0) = a_0 + a_1 (0)^1 + a_2 (0)^2+ a_3 (0)^3 + \dots =a_o \qquad\hbox{also}\qquad a_0 = 1$$
2. Es gilt für die Funktion und ihre Ableitung:
$$
\begin{matrix}
exp(z) = &a_0 +& ~a_1 z^1 +& ~a_2 z^2 +& ~a_3 z^3 +& ~a_4z^4+ & ~a_5z^5+& \dots \\
exp'(z) = &a_1 +& 2a_2z^1 +& 3a_3 z^2 +& 4a_4 z^3 +& 5a_5z^4+ & 6a_6z^5+&\dots \\
\end{matrix}
$$
also wegen Forderung (F2)
$$
\begin{matrix}
a_1 = &a_0& &\qquad &\Rightarrow a_1 =1 \\
2a_2 = &a_1& =1 &\qquad &\Rightarrow a_2 =\frac{1}{2} \\
3a_3 = &a_2& =\frac{1}{2} &\qquad &\Rightarrow a_3 =\frac{1}{2\cdot 3} \\
4a_4 = &a_3& =\frac{1}{2\cdot 3} &\qquad &\Rightarrow a_4 =\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4} \\
\end{matrix}
$$
also allgemein
$$a_n=\frac{1}{n!}$$
\underbar{Die Exponentialfunktion}
$$f(z) = e^z$$
Die Exponentialfunktion ist definiert als Lösung der
Differentialgleichung
$$f'(z) = f(z)\qquad\hbox{mit}\qquad f(0)=1$$
%\vfill\eject
Wir betrachten die Potenzreihe
$$f(z) = 1 + {z\over 1!} + {z^2\over 2!} + {z^3\over 3!} + \dots + {z^n\over
n!} + \dots $$
und gehen ohne Beweis davon aus, daß die Reihe konvergiert, also die
Summe existiert.
Dann gilt
$$\begin{matrix}
f'(z) &= 0 + {1\over 1} &+ {2z\over 2!} &+ {3z^2\over 3!} &+ \dots &+ {nz^{n-1}\over n!} & + \dots \cr\cr
&= 1 &+ {z\over 1!} &+ {z^2\over 2!} &+ \dots & +{z^{n-1}\over (n-1)!} &+ \dots \cr\cr
&= & f(z) & & & & \cr
\end{matrix}$$
D.h. die Potenzreihe entspricht der gesuchten Funktion.