Aufgabe
Benutzen Sie die Eulersche Formel und bestimmen Sie
  1. $e^{2\pi i}$
  2. $e^{-2\pi i}$
  3. $e^{2h\pi i} \qquad h = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$
  4. $e^{\pi i}$
  5. $e^{\pi\cdot i/2}$
  6. $e^{-\pi\cdot i/2}$

Lösung
Die Eulerschen Formeln sind gegeben durch $$e^{iz}=\cos z + i\cdot\sin z$$ und $$e^{-iz}=\cos z - i\cdot\sin z$$
  1. $$e^{i\cdot 2\pi}=\cos 2\pi + i\cdot\sin 2\pi = 1 + i \cdot 0 = 1$$
  2. $$e^{-i\cdot 2\pi}=\cos 2\pi - i\cdot\sin 2\pi = 1 - i \cdot 0 = 1$$
  3. $e^{2h\pi i} \qquad h = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ $$e^{i\cdot 2h\pi}=\cos 2h\pi + i\cdot\sin 2h\pi = 1 + i \cdot 0 = 1$$
  4. $$e^{\pi i}= \cos\pi + i \sin\pi = -1$$
  5. $$e^{\pi\cdot i/2}= \cos\pi/2 + i \sin\pi/2 = 0+i=i$$
  6. $$e^{-\pi\cdot i/2}= \cos\-pi/2 + i \sin-\pi/2 = 0-i=-i$$

Satz
$f(x)$ sei eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten $$f(x) = k_2x^2 + k_1x + k_0$$ Dann gilt: Ist $x = a+bi$ eine komplexe nicht reelle Lösung, dann ist die konjugierte Komplexe zu $x$ also $\overline{x} = a- bi$ auch Lösung.
Beweis
Aus dem Hauptsatz der Algebra folgt die Faktorisierung $$f(x) = A(x-x_0)(x-x_1)$$ $x_0$ sei nicht reelle Lösung, also $x_0 = a_0 + b_0i$ mit $b_0\ne 0$. $x_1$ sei gegeben durch $$x_1 = a_1 + b_1i$$ Dann ergibt sich das Polynom $f(x)$ mit reellen Koeffizienten $$ f(x) = A \cdot \left( x^2- \underbrace{(x_0 + x_1)}_{\in \mathbb{R}} x + \underbrace{x_0x_1}_{\in\mathbb{R}} \right) $$ $$ \begin{matrix} x_0 + x_1 &= &a_0+a_1+(b_0+b_1)i {x_0 + x_1 \in\mathbb{R}\atop \Longrightarrow} \ b_0 = -b_1 \cr x_0\cdot x_1 &= &(a_0+b_0 i)(a_1-b_0 i)=a_0a_1 - b_0^2 + b_0(a_0-a_1)i \ {x_0\cdot x_1 \in\mathbb{R}\atop \Longrightarrow} \ a_0-a_1 = 0 \cr%} \end{matrix} $$