Für die Bestimmung der Nullstellen einer
quadratischen Gleichung $f(x)=x^2 +px +q$ gilt generell nach der
p-q-Formel:
\begin{equation}
x_{1,2}= -\frac{p }{2}\pm\sqrt{\underbrace{\left(\frac{p }{2}\right)^2-q}_{D}}.
\end{equation}
In Abhängigkeit von der sogenannten Diskriminante $D=\left(\frac{p
}{2}\right)^2-q$ müssen drei Fälle unterschieden werden:
-
$D>0$:
Es gibt zwei unterschiedliche reelle Lösungen, nämlich
$x_{1}= -\frac{p }{2}-\sqrt{D}$ und
$x_{2}= -\frac{p }{2}+\sqrt{D}$. Das Polynom kann in faktorieller Weise dargestellt werden als
$f(x)=(x-x_1)(x-x_2).$
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$D=0$:
Es gibt nur eine reelle Lösungen, nämlich
$x_{1}= -\frac{p }{2}$.
Das Polynom kann in faktorieller Weise dargestellt werden als
$f(x)=(x-x_1)(x-x_1)$ Da in dieser faktoriellen Darstellung die Nullstelle in beiden Faktoren auftaucht,
spricht man von einer doppelten Nullstelle.
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$D<0$:
Da im Reellen eine Wurzel aus einer negativen Zahl nicht existiert, existiert keine reelle Lösung.
Wir können aber umformen:
$$x_{1,2}= -\frac{p }{2}\pm\sqrt{D}= -\frac{p }{2}\pm\sqrt{(-1)(-D)}=
-\frac{p }{2}\pm\sqrt{-1}\sqrt{-D}.$$
Da in diesem Fall $D<0$ ist, so ist $-D$ positiv, also kann $\sqrt{-D}$ bestimmt werden.
Die beiden Lösungen sind $x_{1}= -\frac{p }{2}-\sqrt{-D}\sqrt{-1}$ und
$x_{2}= -\frac{p }{2}+\sqrt{-D}\sqrt{-1}$. Würde $\sqrt{-1}$ existieren, so
gäbe es zwei Lösungen. Somit wird wiederum zum schon bekannten
Trick gegriffen: Die im Reellen nicht-lösbare
Beziehung $\sqrt{-1}$ wird als Lösung definiert und die Lösung als
imaginäre Einheit i bezeichnet.
\begin{equation}
i=\sqrt{-1} \qquad\mbox{ mit }\qquad i^{2}=-1.
\end{equation}
Mit Hilfe der komplexen Zahlen können
z.B.
alle Gleichungen zweiten Grades gelöst werden.