Gehen Sie aus von der Zahl $$ z={1\over \sqrt 2}+{1\over \sqrt 2}i$$
  1. Bestimmen Sie die Norm r, Argument $\phi$ und die trigonometrische Darstellung von z
  2. Stellen Sie z in der Zahlenebene dar.
  3. Bestimmen Sie $z^2,z^3, z^4, z^5, z^6, z^7, z^8$ und stellen Sie die Werte in der Zahlenebene dar.
  4. Bestimmen Sie alle Lösungen des Polynoms $x^8-1=0$.
  5. Gehen Sie vom letzten Aufgabenteil aus und bestimmen Sie alle Lösungen von $x^k-1=0$.

Lösung

  1. Es gilt $$|z|= \sqrt{(\frac{1}{\sqrt 2})^2 + (\frac{1}{\sqrt 2})^2 } =1$$ Da gilt $\tan\phi = \frac{b}{a}=1 $ ergibt sich $\phi = \arctan 1 = 45^o= \pi/4$
  2. Siehe nebenstehende Abbildung.
  1. Die Darstellung finden Sie in der nebenstehenden Abbildung.
  2. Die Zahlen $1, z, z^2, \dots ,z^7$ sind die gesuchten Einheitswurzeln.
  3. Gehen Sie vom letzten Aufgabenteil aus und bestimmen Sie $\root k \of {1}$ im Komplexen.