Beispiel

Wir gehen von der uns bekannten Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit den Faktoren Arbeit und Kapital aus: \begin{equation*} y=f(A,K)= 4A^{0,5} \cdot K^{0,5} \qquad \forall \qquad A,K>0 \end{equation*} Gesucht wird die Outputänderung, die sich durch eine totale Faktorvariation ergibt.\\ Die Outputänderung kann auch als totales Grenzprodukt bezeichnet werden und bestimmt sich durch das vollständige Differential: \begin{equation*} dy = \frac {\partial y}{\partial A} \cdot dA + \frac {\partial y}{\partial K} \cdot dK = 2A^{-0,5} \cdot K^{0,5} \cdot dA + 2A^{0,5} \cdot K^{-0,5} \cdot dK \end{equation*} Gehen wir davon aus, dass 100 Einheiten Arbeit und 400 Einheiten Kapital eingesetzt werden. Wie ändert sich der Output, wenn der Input an Arbeit um 5 Einheiten verringert und gleichzeitig der Einsatz von Kapital um eine Einheit erhöht wird? \begin{equation*} dA := -5 \qquad dK:= +1 \qquad A = 100 \quad K = 400 \end{equation*} Wir setzen die Werte in das totale Grenzprodukt und erhalten: \begin{align*} dy & = 2A^{-0,5} \cdot K^{0,5} \cdot dA + 2A^{0,5} \cdot K^{-0,5} \cdot dK \\ & = 2 \cdot 100^{-0,5} \cdot 400^{0.5} \cdot (-5) + 2 \cdot 100^{0,5} \cdot 400^{-0,5} \cdot 1 \\ & = 2 \cdot 1/10 \cdot 20 \cdot (-5) + 2 \cdot 10 \cdot 1/20\\ & = -20 + 1\\ & = -19 \end{align*} Der Output fällt (näherungsweise) um 19 Einheiten. Der exakte Änderungswert beträgt: \begin{align*} dy & = y( 95;401)-y(100;400)\\ & = 4 \cdot (95^{0,5} \cdot 401^{0,5})- 4 \cdot (100^{0,5} \cdot 400^{0,5})\\ & = 780,718 - 800\\ & = -19,282 \end{align*}