Das Konzept der Differentialrechnung beschäftigt sich für Funktionen in einer Variablen mit der Steigung (Ableitung) oder Änderungstendenz $\frac{df(x)}{dx}=f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$.

Bei der Übertragung des Problems auf die Ableitung von Funktionen mit mehreren Variablen ist es sinnvoll, sich erst auf Funktionen mit zwei Variablen zu beschränken. Bei Funktionen mit nur zwei unabhängigen Variablen wird häufig auf eine Indizierung der Variablen verzichtet und die abhängige Variable mit $z$ bezeichnet: \begin{equation*} z= f(x,y) \qquad \forall \qquad x,y \in {\mathbb {R}} \end{equation*} Eine Änderung des Funktionswertes, die durch eine hinreichend kleine Veränderungen nur "einer" unabhängigen Variablen bewirkt wird, kann durch das partielle Differential approximiert werden. Da die partiellen Ableitungen der Funktion f(x,y) als "normale Ableitungen" unter Konstanz der jeweils anderen Variablen behandelt werden, ist es möglich auf die Grenzwertdefinition des Differentialquotienten zurückzugreifen.
Definition [Partielle Ableitungen(a)]

Als partielle Ableitung einer Funktion $f(x,y)$ nach der Variablen $x$ wird die Ableitung der nur von der Variablen $x$ abhängigen Funktion $f(x,y_0)$ nach der Variablen $x$ bei Konstantsetzung von $y=y_0=const.$ definiert. Es gilt: \begin{equation*} \frac {\partial f} {\partial x}:= \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {f(x+ \Delta x,y_0 ) - f(x,y_0)}{\Delta x} \qquad \forall \qquad y=const. \end{equation*} Entsprechend ist die partielle Ableitung der Funktion $f(x,y)$ nach der Variablen $y$ für $x=x_0=const.$ definiert: \begin{equation*} \frac {\partial f} {\partial y}:= \lim_{\Delta y\rightarrow 0} \frac {f(x_0,y + \Delta y) - f(x_0,y)}{\Delta y} \qquad \forall \qquad x=const. \end{equation*}
Beispiel [Cobb-Douglas-Funktion]

\begin{equation*} z= f(x,y)=(0,5x^2 \cdot 0,5y^2)^2 \qquad \forall \qquad x,y \in {\mathbb {R}} \end{equation*}
Um die Steigung der Funktion $z=f(x,y)$ an einer Stelle $(x_0,y_0,z_0)$ in $x-Richtung$ zu erhalten, wird die Funktionsfläche mit einer zur $(x,z)-Ebene$ parallel laufenden Ebene geschnitten. Der Schnitt parallel zur $(x,z)-Ebene$ erfolgt durch Konstantsetzen von $y:y=y_0=const.$. Der Funktionswert $z$ dieser Kurve ist nur noch von der Variablen $x$ abhängig. Die Steigung der Kurve im Punkt $(x_0,y_0,z_0)$ ist gleich der Steigung der Funktion $z=f(x)$ an der Stelle $(x_0,y_0,z_0)$ in $x-Richtung$. \begin{equation*} z= f(x,y_0)=(0,5x^2 \cdot 0,5y^2)^2 \qquad \forall \qquad x,y \in {\mathbb {R}} \end{equation*} Wählen wir für $y=y_0=2$ so gilt für die Gleichung der (Schnitt-) Kurve in $x-Richtung$: \begin{equation*} z= f(x,2)=(0,5x^2 \cdot 0,5 \cdot(2)^2)^2 = (0,5x^2 \cdot 2)^2= x^4. \end{equation*} Die Funktion ist nur noch von der Variablen $x$ abhängig. Die Steigung entspricht der gewöhnlichen Differentiation der Funktion nach $x$: \begin{equation*} z= f'(x,2)=4 x^3 = 4 \cdot 2^3 = 32. \end{equation*} Analog läßt sich ein ebener Flächenschnitt parallel zur $(y,z)-Achse$ konstruieren, indem $x=x_0=const.$ gesetzt wird: \begin{equation*} z= f(x_0,y)=(0,5(x_0)^2 \cdot 0,5y^2)^2 \qquad \forall \qquad x,y \in {\mathbb {R}} \end{equation*} Wählen wir für $x=x_0=1$, so lautet die Gleichung der Schnittkurve in $y$-Richtung: \begin{equation*} z= f(1,y)=(0,5(1)^2 \cdot 0,5 \cdot y^2)^2 = (0,5 \cdot y^2)^2= 0,25 y^4 \end{equation*} Die Funktion ist nur noch von der Variablen $y$ abhängig. Die Steigung entspricht der gewöhnlichen Differentiation der Funktion nach $y$: \begin{equation*} z= f'(1,y)=4 \cdot 0,25 y^3 = y^3 \end{equation*} Schnitte parallel zur $(x,y)-Achse$, die auch als Höhenlinien bezeichnet werden, lassen sich mit konstanten Werten $z=z_0=const.$ konstruieren: \begin{equation*} z= z_0 =(0,5x^2 \cdot 0,5y^2)^2 \qquad \forall \qquad x,y \in {\mathbb {R}} \end{equation*} Die ermittelten Steigungen der Funktion $z=f(x,y)$ im Punkt $(x_0,y_0,z_0)$ in $x$- und $y$- Richtung werden als partielle Ableitung der Funktion $z=f(x,y)$ nach $x$ bzw. nach $y$ bezeichnet.